外部Qとマッチング
マッチング条件
等価回路からの計算
進行波加速管のカップラーの設計では，KEK: 肥後先生の「ディスクロード型加速構造のカプラーマッチングに関する簡単な等価回路解析」が参考になります．このノートに， \begin{align} Q_{ext} = \frac{4}{\sqrt{3}}\frac{(1-\kappa/2)}{\kappa} \label{eq:Qext_higo} \end{align} が示されています．ここで，\(Q_{ext}\) は，加速管とマッチングする導波管とカップラー空洞の外部Qの値です．\(\kappa\) は進行波加速管の結合係数です．これは，表示便利な式でとても有用です．肥後先生は，等価回路を用いて式\eqref{eq:Qext_higo}を導いています．
この式を導く過程では，加速管の分散関係 \begin{align} &\left(\frac{\omega}{\omega_a}\right)^2 = 1 - \kappa\cos\phi&\label{eq:dispersion} &\phi=k_zD& \end{align} が使われています．ここで，\(\omega\) は加速管を伝わるRFの角周波数，\(\omega_a\) は加速セルの固有周波数，式から\(\pi/2\) モードの周波数と考えても良いです．\(\kappa\) は結合係数，\(\phi\) は進行波のセル当たりの位相変化，\(k_z\) は進行波の波数，\(D\) はセルの長さです．
エネルギーの流れからの計算
等価回路とは別に，RFのエネルギーの流れから計算する方法もあります．ここで，ちょっと異なる式を別の方法で導くことが出来たので，忘れないうちにメモします．
カップラー空洞でマッチングが取れるという条件を考えます．図1 のように，カップラー空洞は導波管と進行波加速管との間に挿入される共振器で，それらの結合を調整する役割も果たします．重要なことは，導波管から送られた電磁波がカップラー空洞を介して加速管に効率よく(反射無く)伝わることです．その条件は，導波管 — カップラー空洞とカプラー空胴 — 加速管で外部Qが一致することです．すなわち， \begin{align} Q_{ext\,wg} = Q_{ext\,acc} \end{align} です．後で示すように，導波管とカップラーの外部Qは容易に計算可能です．カップラーと加速管の外部Qの計算方法が問題です．ここでは等価回路の代わりに，エネルギーの流れから計算します．外部Qは，カップラー空洞の蓄積エネルギーと加速管に放出されるエネルギーの比から求められます．すなわち， \begin{align} Q_{ext\,acc} = \frac{\omega U}{P_{acc}}=\frac{\omega U}{v_g(U/D)}=\frac{\omega D}{v_g} \label{eq:Qext_energy} \end{align} です．ここで，\(v_g\) は加速管を伝わる進行波の群速度，\(D\) はセルの長さ (ディスク間隔) です．群速度は加速管の分散関係から， \begin{align} v_g = \ddiffA{\omega}{k_z}=\frac{\kappa \omega}{2}\frac{D\sin\phi}{(1-\kappa\cos\phi)} \label{eq:v_g} \end{align} 求められます．この式を式\eqref{eq:Qext_energy}に代入する．加速モードは \(\phi=2\pi/3\) とすると， \begin{align} Q_{ext\,acc} = \frac{\omega D}{v_g} = \frac{2}{\kappa}\frac{\left[1-\kappa\cos(2\pi/3)\right]}{\sin(2\pi/3)}=\frac{4}{\sqrt{3}}\frac{(1+\kappa/2)}{\kappa} \label{eq:Qext_yamamoto2} \end{align} となります．等価回路の肥後先生の式\eqref{eq:Qext_higo}と，ちょっと異なります．理由は不明です．
図1: 導波管とカップラー空洞，進行波加速管
ディスク穴径やディスク間隔が変化する場合
進行波加速管の場合，ディスク穴径が少しずつ変化します．これは，先に示した外部Qがセルごとに変化することを意味します．この変化が大きいと，そこで反射波が発生します．そのため，通常の進行波加速管の設計では，ディスク穴径の変化はそれほど大きくしません．レギュラー加速管では，ディスク穴径をゆっくりと変化させます．
バンチャー加速管では，ディスク穴径(\(2a\))とセル長(\(D\))の両方を調整する必要がります．この場合，外部Qの変化を抑えることが重要です．すなわち，式 \eqref{eq:Qext_energy} や式 \eqref{eq:Qext_yamamoto2} で示す外部Qがセルごとにほぼ一定となるように調整します．