粒子の運動は本来六次元位相空間 \((x,\,y,\,z,\,p_x,\,p_y,\,p_z)\) で記述されるが，加速器では運動量の代わりにビーム軸からの角度 \((x^\prime=p_x/p_z,\,y^\prime=p_y/p_z)\) を使うことが多い．また縦方向は \((\phi,\,\Delta W)\) で表すことが多い．したがって実務では \((x,\,x^\prime)\)，\((y,\,y^\prime)\)，\((\phi,\,\Delta W)\) という三組の二次元位相空間プロットが用いられる．

ツイスパラメーター \((\alpha,\,\beta,\,\gamma)\) とエミッタンス \(\varepsilon\) を用いると，位相空間楕円は

\begin{align} \begin{bmatrix} x & x^\prime \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & \alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ x^\prime \end{bmatrix} = \varepsilon \label{eq:html_twiss} \end{align}

と書ける．これが楕円になるためには，

\begin{align} 0 < \beta, \qquad 0 < \gamma, \qquad 0 < \beta\gamma-\alpha^2 \label{eq:html_ellipse_cond} \end{align}

が必要である．さらに加速器では

\begin{align} \beta\gamma-\alpha^2 = 1 \label{eq:html_twiss_constraint} \end{align}

という規約を採用する．こうすると，式 \eqref{eq:html_twiss} の右辺 \(\varepsilon\) は楕円の面積を \(\pi\) で割った量になり，エミッタンスの定義と一致する．

正規化座標

\begin{align} X=\frac{x}{\sqrt{\beta}}, \qquad P=\frac{\alpha x+\beta x^\prime}{\sqrt{\beta}} \label{eq:html_normalized_coord} \end{align}

を導入すると，式 \eqref{eq:html_twiss} は \(X^2+P^2=\varepsilon\) となる．すなわち，物理座標では傾いた楕円であっても，正規化座標では円になる．したがって，\(\beta\) は位置方向の広がり，\(\gamma\) は角度方向の広がり，\(\alpha\) は位置と角度の相関を表す量と解釈できる．

二次元正規分布

位相空間分布の統計的なモデルとして，二次元正規分布は最も基本的なものである．説明のため，ここでは変数を \((x,\,y)\) と書く．加速器の位相空間へ戻すときは \((x,\,x^\prime)\)，\((y,\,y^\prime)\)，\((\phi,\,\Delta W)\) と読み替えればよい．

平均ベクトル \(\boldsymbol{\mu}\)，共分散行列 \(\boldsymbol{\Sigma}\) をもつ多次元正規分布の確率密度関数は，

\begin{align} f_X(x_1,\cdots,x_k)= \frac{\exp\left[-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right]} {\sqrt{(2\pi)^k\lvert\boldsymbol{\Sigma}\rvert}} \label{eq:html_multi_normal} \end{align}

である．二次元の場合の共分散行列は，

\begin{align} \boldsymbol{\Sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \rho\sigma_x\sigma_y \\ \rho\sigma_x\sigma_y & \sigma_y^2 \end{bmatrix} \label{eq:html_covariance} \end{align}

と書ける．ここで \(\sigma_x,\,\sigma_y\) は標準偏差，\(\rho\) は相関係数であり，\(-1\leq\rho\leq 1\) を満たす．

平均を \(\boldsymbol{\mu}=0\) とすると，確率密度関数は

\begin{align} f_X(x,y) =\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left[ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( \frac{x^2}{\sigma_x^2} -\frac{2\rho xy}{\sigma_x\sigma_y} +\frac{y^2}{\sigma_y^2} \right) \right] \label{eq:html_normal2d} \end{align}

となる．したがって，等密度曲線は

\begin{align} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \lambda \label{eq:html_density_ellipse} \end{align}

という楕円族になる．共分散行列の行列式を使うと，この楕円の面積は

\begin{align} S(\lambda)=\pi\lambda\sqrt{\det(\boldsymbol{\Sigma})} =\pi\lambda\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2} \label{eq:html_area} \end{align}

で与えられる．ここに RMS エミッタンスが自然に現れる．

粒子分布の統計と RMS エミッタンス

粒子分布の統計量

粒子分布の統計量は，共分散行列で表すのが基本である．連続分布 \(f(x,\,x^\prime)\) が規格化されているとき，任意の関数 \(g(x,\,x^\prime)\) の期待値は

\begin{align} \langle g \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,\,x^\prime)f(x,\,x^\prime)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}x^\prime \label{eq:html_expectation} \end{align}

で定義される．平均を引いた中心化座標を使えば，共分散行列は

\begin{align} \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \langle x^2\rangle & \langle xx^\prime\rangle \\ \langle xx^\prime\rangle & \langle x^{\prime 2}\rangle \end{bmatrix} \label{eq:html_covariance_cont} \end{align}

となる．

シミュレーションでは，通常 \(N\) 個のマクロ粒子 \((x_i,\,x_i^\prime)\) が与えられる．重みなしの場合の平均は

\begin{align} \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i, \qquad \bar{x}^\prime=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^\prime \label{eq:html_mean_discrete} \end{align}

であり，\(\tilde{x}_i=x_i-\bar{x}\)，\(\tilde{x}_i^\prime=x_i^\prime-\bar{x}^\prime\) を使うと，共分散行列は

\begin{align} \boldsymbol{\Sigma} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \begin{bmatrix} \tilde{x}_i \\ \tilde{x}_i^\prime \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{x}_i & \tilde{x}_i^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle x^2\rangle & \langle xx^\prime\rangle \\ \langle xx^\prime\rangle & \langle x^{\prime 2}\rangle \end{bmatrix} \label{eq:html_covariance_discrete} \end{align}

で与えられる．粒子に重み \(w_i\) がある場合は，総重み \(W=\sum_i w_i\) を用いて重み付き平均と重み付き共分散行列を定義する．

ツイスパラメーターと統計量の関係

ツイス楕円と共分散楕円を比較すると，両者は同じ二次形式を別の記号で書いているだけである．具体的には，

\begin{align} \boldsymbol{\Sigma} = \varepsilon_{rms} \begin{bmatrix} \beta & -\alpha \\ -\alpha & \gamma \end{bmatrix} \label{eq:html_sigma_twiss} \end{align}

が成り立つ．したがって，統計量からツイスパラメーターは

\begin{align} \beta=\frac{\langle x^2\rangle}{\varepsilon_{rms}}, \qquad \alpha=-\frac{\langle xx^\prime\rangle}{\varepsilon_{rms}}, \qquad \gamma=\frac{\langle x^{\prime 2}\rangle}{\varepsilon_{rms}} \label{eq:html_twiss_from_statistics} \end{align}

で求められる．逆に，

\begin{align} \langle x^2\rangle=\beta\varepsilon_{rms}, \qquad \langle xx^\prime\rangle=-\alpha\varepsilon_{rms}, \qquad \langle x^{\prime 2}\rangle=\gamma\varepsilon_{rms} \label{eq:html_statistics_from_twiss} \end{align}

と書けるので，\(\beta\) は位置方向の広がり，\(\gamma\) は角度方向の広がり，\(\alpha\) は相関を表す量であることが分かる．

統計学の記号 \((\sigma_x,\,\sigma_{x^\prime},\,\rho)\) を使うと，

\begin{align} \varepsilon_{rms}=\sigma_x\sigma_{x^\prime}\sqrt{1-\rho^2}, \qquad \alpha=-\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} \label{eq:html_eps_rho} \end{align}

であり，\(\beta\) と \(\gamma\) も同様に \(\sigma_x\)，\(\sigma_{x^\prime}\)，\(\rho\) から決まる．すなわち，ツイスパラメーターは共分散行列を無次元化したものである．

RMS エミッタンスと包含率

RMS エミッタンスは，共分散行列の行列式で定義される量であり，

\begin{align} \varepsilon_{rms} = \sqrt{\det(\boldsymbol{\Sigma})} = \sqrt{\langle x^2\rangle\langle x^{\prime 2}\rangle-\langle xx^\prime\rangle^2} \label{eq:html_rms_emittance} \end{align}

と書ける．したがって，共分散楕円の面積は \(\pi\varepsilon_{rms}\) である．

二次元正規分布に対し，楕円

\begin{align} \begin{bmatrix} x & x^\prime \end{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \begin{bmatrix} x \\ x^\prime \end{bmatrix} \leq \lambda \label{eq:html_probability_ellipse} \end{align}

の内部に含まれる粒子の割合は，

\begin{align} P(\lambda)=1-\exp\left(-\frac{\lambda}{2}\right) \label{eq:html_probability} \end{align}

で与えられる．RMS 楕円は \(\lambda=1\) に対応するので，その内部に入る粒子は

\begin{align} P(1)=1-\exp\left(-\frac{1}{2}\right)\approx 0.393 \end{align}

すなわち約 39.3 \% である．一次元の \(1\sigma\) の直感をそのまま二次元へ持ち込んではならない．

任意の包含率 \(P\) に対応する楕円係数は

\begin{align} \lambda=-2\log(1-P) \label{eq:html_lambda} \end{align}

で求められる．例えば 90 \% エミッタンスでは \(\lambda \approx 4.605\) であり，90 \% エミッタンスは RMS エミッタンスの約 4.605 倍である．

また，ある粒子 \((x_i,\,x_i^\prime)\) が楕円の内側か外側かは，

\begin{align} \begin{bmatrix} x_i & x_i^\prime \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & \alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_i \\ x_i^\prime \end{bmatrix} \left\{ \begin{array}{ll} < \lambda\varepsilon_{rms} & \textrm{楕円内部} \\ = \lambda\varepsilon_{rms} & \textrm{楕円上} \\ > \lambda\varepsilon_{rms} & \textrm{楕円外部} \end{array} \right. \label{eq:html_inside_outside} \end{align}

で判定できる．

ページ情報

参考資料

山本昌志, 「ツイスパラメーターとマクロ粒子分布」, TD-25050B, 2026.
G. Strang, Linear Algebra and Its Applications.

更新履歴

2026年03月07日

2節の理論を基に HTML ページを再構成

ツイスパラメーター統計

目次

はじめに