5 二分法とニュートンの比較

5.1 解への収束速度

図8に，これまでに示した2つの方法の解への近づき具合を 示す．二分法に比べてニュートン法の収束が圧倒的に早いことがわかる．先に示した通り， ニュートン法は二次収束，二分法は一次収束であることがグラフより分かる．二分法は， 10回の計算で， $2^{-10}=1/1024$程度になっていることに気づいてほしい．ニュートン法 では，計算回数に応じて $10^{-1}\rightarrow 10^{-2}\rightarrow 10^{-4}\rightarrow 10^{-8}$ のように急激に近似解の精度が向上することがグラフからも分かるであろう．

図 8: 計算回数(反復回数)と誤差の関係

5.2 それぞれの特徴

二分法の長所と短所は，以下の通りである．

長所

閉区間$[a,b]$に解があれば，必ず解に収束する．間違いなく解を探すので， ロバスト(robust：強靭な)な解法と言われている．次に示すニュートン法と は異なり，連続であればどんな形の関数でも解に収束するので信頼性が高い のである．さらに，解の精度も分かり便利である．解の誤差は，区間の 幅$\vert b-a\vert$以下である．

短所

収束が遅い(図8)．

ニュートン法の特徴をまとめると次のようになる．

長所

初期値が適当ならば，収束が非常に早い(図 8)．

短所

初期値が悪いと，収束しない(図5)．収束 しない場合があるので，反復回数の上限を決めておく必要がある．

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著者: 山本昌志