5 複素フーリエ級数

三角関数の計算は厄介なので,指数関数を使った方が便利なことが多い.そこで,複素数 の指数関数を使ったフーリエ級数を考える.

5.1 区間 $ [-\pi,\,\pi]$で定義された関数

ここでは,オイラーの公式

$\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (34)

が重要な役割を果たす.これから

  $\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$   $\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$   (35)

を直ちに導くことができる.これを,フーリエ級数の式(6)に代 入すると,

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$    
  $\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right]$    
  $\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ \frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx})-\frac{ib_n}{2}(e^{inx}-e^{-inx})\right]$    
  $\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{inx}+\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-inx}\right]$    

となる.これは,いままでと同一の式である.左辺は実数で,右辺の値も実数となる.右辺に は虚数部が含まれるが,それはキャンセルされてゼロとなる.ここで,

  $\displaystyle c_0=\frac{a_0}{2}$   $\displaystyle c_n=\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$   $\displaystyle c_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$   (36)

とする4.すると,かなり形式的ではあるが,

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{inx}$ (37)

が得られる.これを複素フーリエ級数という.フーリエ係数$ c_n$は,実数のフーリエ級数の係 数を求める式から得ることができる.$ c_0$は次のようする.

$\displaystyle c_0$ $\displaystyle =\frac{a_0}{2}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$ (38)

$ c_n$は次のようにする.

$\displaystyle c_n$ $\displaystyle =\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \,\mathrm{d}x - \frac{i}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \,\mathrm{d}x$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)[\cos nx-i\sin nx] \,\mathrm{d}x$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x$ (39)

$ c_{-n}$も同様である.

$\displaystyle c_{-n}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \,\mathrm{d}x + \frac{i}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \,\mathrm{d}x$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)[\cos nx+i\sin nx] \,\mathrm{d}x$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{inx}\,\mathrm{d}x$ (40)

よく見ると,係数を計算する3つの式(39)(40)(41)は,

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$ (41)

とまとめることができる.

そして,$ c_n$$ c_{-n}$は複素共役の関係

$\displaystyle c_n^\ast=c_{-n}$ (42)

がある.$ c_n$が計算できれば$ c_n$は直ちに求めることができる.

5.2 区間$ [-L,\,L]$で定義された関数

区間$ [-L,\,L]$で定義された関数$ g(x)$の場合,ほとんど同じ議論で,

$\displaystyle g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i(n\pi x)/L}$ (43)

となる.係数は,

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-i(n\pi x)/L}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$ (44)

と導くことができる.
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年12月1日


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