3 有限区間で定義された関数のフーリエ級数

ここでは，ある区間で定義された関数をフーリエ級数で取り扱うことを考える．これまで取り扱ってきた関数は，定義域 $[-\infty,\,\infty]$ の周期関数であった．ここでは，定義域 $[0,\,\pi]$ や $[0,\,L]$ の有限な区間の関数を取り扱う．この範囲の外側は興味の対象外となり，その値はどうでもよい．

3.1 区間 $[0,\pi]$ で定義された関数

3.1.1 余弦フーリエ級数

区間 $[0,\,\pi]$ で定義された関

がある．これをフーリエ級数で表すことを考える．そのため， $[-\pi,\,\pi]$

$\displaystyle F(x)= \begin{cases}f(x) \quad & (0\leq x \leq L)\\ f(-x) \quad & (-L\leq x \leq 0) \end{cases}$

(19)

となり，周期 $2\pi$ をもつ偶関数

を考える．すると，フーリエ級数で表すことができる．すなわち，区間 $[0,\,\pi]$ で

は

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+a_1\cos\pi x+a_2\cos 2\pi x+a_3\cos 3\pi x+\cdots$
	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\pi x$	(20)
	ただし， $\displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos n\pi x\,\mathrm{d}x$

と表すことができる．これを余弦フーリエ級数と言い， $[0,\,L]$ では元の関数

を正しく表している．これは，区間 $[0,\,\pi]$ の場合，

$\displaystyle \{1,\,\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\,\cos 4x,\,\cos 5x,\,\cos 6x,\,\cdots\}$

を基底関数に選んで展開できる．

3.1.2 正弦フーリエ級数

一方， $[-\pi,\,\pi]$ で定義された奇関数

として

$\displaystyle G(x)= \begin{cases}f(x) \quad & (0 \leq x \leq \pi)\\ -f(-x) \quad & (-\pi\leq x \leq 0) \end{cases}$

(21)

を考えることもできる．

は奇関数なので，区間 $[0,\,\pi]$ で

は

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =b_1\sin\pi x+b_2\sin 2\pi x+b_3\sin 3\pi x+\cdots$
	$\displaystyle =\sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\pi x$	(22)
	ただし， $\displaystyle b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin n\pi x\,\mathrm{d}x$

と表すこともできる．これを正弦フーリエ級数と言う．区間 $[0,\,\pi]$ の場合，

$\displaystyle \{\sin x,\,\sin 2x,\,\sin 3x,\,\sin 4x,\,\sin 5x,\,\sin 6x,\,\cdots\}$

も基底関数に選んで展開できる．

3.2 区間 $[0,\,L]$ で定義された関数

同様に， $[0,\,L]$ で定義された関数

もまた，正弦フーリエ級数や余弦フーリエ級数に展開できる．余弦フーリエ級数は

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+a_1\cos\frac{\pi x}{L}+a_2\cos\frac{2\pi x}{L}+ a_3\cos\frac{3\pi x}{L}+\cdots$
	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{L}$	(23)
	ただし， $\displaystyle a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$

となる．一方，正弦フーリエ級数は，

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =b_1\sin\frac{\pi x}{L}+b_2\sin\frac{2\pi x}{L}+ b_3\sin\frac{3\pi x}{L}+\cdots$
	$\displaystyle =\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}$	(24)
	ただし， $\displaystyle b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$