2 テイラー展開から三角関数の諸公式

2.1 テイラー展開

2.1.1 任意のデータを冪級数で表現

$(x,y)$の$N$個の任意のデータ点を通過する関数を考える．全てのデータ点を通る関数は， $N-1$次関数で記述できる．データ点が2つならば1次関数，3つならば2次関数のようにで ある．諸君は，これまでの学習で2点から直線を，3点から2次関数を決めたりしているだ ろう．図1のように勝手に決めた10個の点から，9次関数を決めることもで きる．なぜならば，$N-1$次関数

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\cdots+a_{N-1}a^{N-1}$$ (6)

には$N$個の係数があり，それらの係数は$N$個の点により一意に決定できるからである．

図 1: 勝手に決めた10点を9次関数で表現．

2.1.2 任意の関数のテイラー展開

前節では，どんな任意のデータでも冪乗の関数で表現できることを示した．データの数が 非常に多くなって，無限までになったらどうなるだろうか?．データの数が無限というの は，データが連続するもの，すなわち関数と考えることができる．例えば，三角関数は無限 個の$(x,y)$のデータの集まりである．このようなデータに対しての先ほどの問いかけに ついて，私は答えられない．しかし，直観あるいはコンピューターの助けを借りて，厳密 ではないにしても，実用上問題ない結果を得ることができる．

もし，ある関数が無限個のデータの集まりと考え，

$$f(x) =a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\cdots$$

$$=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$ (7)

と表すことができるとしよう．$f(x)$は三角関数であったり，指数関数，あるいは対数関 数である．この式の左辺は，冪級数と呼ぶ．この式は，任意の関数を冪球数に展開して いるのである．証明は数学の時間に任せるとして，任意の関数はこのように冪級数に展開 できる．

任意の関数$f(x)$が式(7)のように冪級数に展開できるならば，そ の係数$a_n$をどうやって決めるのか?--という問題がのこる．有限個の場合のように， 連立方程式から係数を計算することはできない．無限次元の連立方程式など 解けないからである．そこで，連続な関数という性質を使う．元の式(7)，お よびその両辺を繰り返し微分すると次の式が得られる．

$$f(x) =a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+\cdots$$ (8)

$$f^\prime(x) =a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4+6a_6x^5\cdots$$ (9)

$$f^{\prime\prime}(x) =2\times1\times a_2+3\times2a_3x+4\times3a_4x^2 +5\times4a_5x^3+ 6\times5a_6x^4\cdots$$ (10)

$$f^{(3)}(x) =3\times2\times1\times a_3+4\times3\times2a_4x+5\times4\times3a_5x^2+ 6\times5\times4a_6x^3\cdots$$ (11)

$$\qquad\vdots$$

$$f^{(n)}(x) =n!a_n+\frac{(n+1)!}{1!}a_{n+1}x+\frac{(n+2)!}{2!}a_{n+2}x^2 +\frac{(n+3)!}{3!}a_{n+3}x^3+\cdots$$ (12)

これらの式で$x=0$とすると，右辺第2項より高次の項は全てゼロとなる．これを利用して， 式(7)の展開係数は

$$a_0=f(0) a_1=f^\prime(0) a_2=\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2\times1} a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3\times2\times1} \cdots a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ (13)

と得られる．$0!=1$とすると，最後の式である $a_n=f^{(n)}(0)/n!$が$n=0$を含めて一般的 に成り立つ．式(7)を合わせて，

$$f(x) =f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)... ...}x^3 +\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ (14)

となる．これで，任意の関数を冪級数で展開する方法が分かった²．このようにある関数を 冪球数で展開する方法をテイラー展開と言う．

式(14)は，不思議な式である．一般に，左辺の関数の定義域は $[-\infty,\infty]$と広い．それに対して，右辺の冪級数は$x=0$の値のみできまる．無 限にひろがる関数が$x=0$のときの性質で決まる--という不思議なことになっている．

まとめ(テイラー展開)

• 任意の関数は，冪級数に展開--テイラー展開--できる．

  $$f(x)=f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 +\frac{f... ...}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots =\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

  
  

2.1.3 三角関数と指数関数のテイラー展開

先の説明では，どんな関数でも冪球数に展開できると言った．そこで，三角関数と指数関 数をテイラー展開³してみよう．

式(14)の$f(x)$を$\sin x$とすると，

$$\sin x =\sin(0)+\cos(0)x-\frac{\sin(0)}{2!}x^2-\frac{\cos(0)}{3!}x^3 +\frac{\sin(0)}{4!}x^4+\frac{\cos(0)}{5!}x^5-\frac{\sin(0)}{6!}x^6+\cdots$$

$$=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!} -\frac{x^{11}}{11!}+\cdots$$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ (15)

がえられる．いままで，三角関数は幾何学的な意味で使われてきた．幾何学的に考えた三 角関数の場合，任意の$x$での$\sin x$の計算は大変難しい．それに対して，式 (15)の右辺には幾何学的な意味はなく，解析的である．したがって， どんな$x$に対しても$\sin x$の計算が可能である．これは，まことに便利と言わざるを 得ない．

でも，本当かなー--という疑問が湧く者もいるだろう．正直，私も信じられない．この ような時，私はコンピューターを使って確かめることが多い．式(15) の右辺を $x,x^3,x^7, x^{15}, x^{31},x^{51},x^{101}$まで，展開の項数を変化さて 計算してみた．その結果を図2に示す．展開の項数が増加するごとに$\sin x$を正確に表していることが分かるであろう．これで，テイラー展開は正しいと信じた．

同じことを$\cos x$で行うと，次の結果が得られる．

$$\cos x =\cos(0)-\sin(0)x-\frac{\cos(0)}{2!}x^2+\frac{\sin(0)}{3!}x^3 +\frac{\cos(0)}{4!}x^4-\frac{\sin(0)}{5!}x^5-\frac{\cos(0)}{6!}x^6+\cdots$$

$$=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!} -\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}-\frac{x^{14}}{14!}+\cdots$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ (16)

指数関数$e^x$もテイラー展開できる．

$$e^x =e^0+e^0x+\frac{e^0}{2!}x^2+\frac{e^0}{3!}x^3+\frac{e^0}{4!}x^4 +... ...\frac{e^0}{6!}x^6+\frac{e^0}{7!}x^7+\frac{e^0}{8!}x^8 +\frac{e^0}{9!}x^9+\cdots$$

$$=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!} +\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ (17)

これらの三角関数と指数関数のテイラー展開の式から，それぞれの関数の値を解析的に計 算ができるようになる．いままで，三角関数は幾何学的に，指数関数は乗算の延長??のよ うに定義されていた．このような定義では，解析に値を計算することに困難をきたす．そ れに代わり，このテイラー展開の式がそれぞれの関数の定義と考えると，計算が格段に簡 単になる．このように定義しても，いままで使ってきた三角関数や指数関数の性質は失わ れない⁴．そこで， これからは三角関数と指数関数の定義として，テイラー展開の結果を使う．

まとめ(三角関数と指数関数テイラー展開)

• 三角関数と指数関数は，次のようにテイラー展開できる．

  $$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\... ...{x^{12}}{12!} -\frac{x^{14}}{14!}+\frac{x^{16}}{16!}-\frac{x^{18}}{18!} +\cdots$$

  $$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!}-\... ...{x^{13}}{13!} -\frac{x^{15}}{15!}+\frac{x^{17}}{17!}-\frac{x^{19}}{19!} +\cdots$$

  $$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} +\frac{x^5}{5!}... ...^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!} +\frac{x^9}{9!}+\frac{x^{10}}{10!}+\cdots$$

  
  

図: $\sin x$のテイラー展開．図中の整数は展開の次数を示す．

2.2 オイラーの公式

三角関数と指数関数のテイラー展開の式(15)と(16)， (17)はよく似ている．若干異なるが，虚数単位$i$を使うとさらに似て くる．かなり便宜的に思えるが，次のように書くことができる．

$$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\... ...{x^{12}}{12!} -\frac{x^{14}}{14!}+\frac{x^{16}}{16!}-\frac{x^{18}}{18!} +\cdots$$

$$i\sin x =ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!} +i\frac{x^9}{... ...{13}}{13!} -i\frac{x^{15}}{15!}+i\frac{x^{17}}{17!}-i\frac{x^{19}}{19!} +\cdots$$

$$e^{ix} =1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} +i\frac{x^5}{... ...}{6!}-i\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!} +i\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{10}}{10!}-\cdots$$

ますます，三角関数と指数関数が似てきた．これらより，

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ (18)

が得られる．これが，オイラーの公式と呼ばれるものである．虚数を介して，三角 関数と指数関数がこんなにも簡単な式で結ばれているのである．これは便宜的に記述した だけの式に見えるが，科学技術の問題を考えるときに極めて有用である．これを使うとや やこしい計算をすること無く，様々な問題が解ける．諸君はできるだけオイラーの公式を 利用せよ．

オイラーの公式から，

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ (19)

と書くこともできる．

もともと，三角関数は幾何学的に定義された．それに対して，指数関数は解析的に定 義された．そして，虚数は方程式を解くために導入された．これら，勝手に定義されたも のが，こんな単純な式で関係づけられるのは驚きである．

2.3 三角関数の諸公式

オイラーの公式を使うと，この節で示すように三角関数に関する公式が簡単に得られる． この単純な方法を憶えておくと，後々，便利である．これだけでもオイラーの公式の御利 益が分かるだろう．

2.3.0.1 加法定理

$e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$を使うと，三角関数の加法定理が得られ る．オイラーの公式を使うと，指数関数の $e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$は，

$$\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) =(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$$

$$=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)$$ (20)

となる．両辺が等しいということは，実部と虚部が等しいということである．したがって，

$$\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ (21)

$$\sin(\alpha+\beta) =\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta$$ (22)

が得られる．これは，三角関数の加法定理そのものである．

2.3.0.2 倍角の公式

$e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n$を使うと，2倍角や3倍角$\cdots$の公式を得ることがで きる．例えば，$n=2$とするとこの指数関数は，

$$\cos(2\theta)+i\sin(2\theta) =(\cos\theta+i\sin\theta)^2$$

$$=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+2i\cos\theta\sin\theta$$ (23)

となる．これもまた，実数部と虚数部の各々が等しいので，

$$\cos(2\theta) =\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$$ (24)

$$\sin(2\theta) =2\cos\theta\sin\theta$$ (25)

を得る．これは倍角の公式である．同様の手順で，$n=3$と

$$\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) =(\cos\theta+i\sin\theta)^3$$

$$=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$$ (26)

$$=(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+i(3\sin\theta-4\sin^3\theta)$$ (27)

3倍角の公式

$$\cos(3\theta) =4\cos^3\theta-3\cos\theta$$ (28)

$$\sin(3\theta) =3\sin\theta-4\sin^3\theta$$ (29)

が簡単に得られる．

2.3.0.3 半角の公式

式(24)を使っても簡単に求められる．式 (19)から計算することもできる．

$$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =\left[\frac{e^{i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}{2i}\right]^2$$ (30)

$$=\frac{e^{ix}+e^{-ix}-2}{-4}$$ (31)

$$=\frac{1-\cos x}{2}$$ (32)

同じことをすれば，余弦に関する公式 も得られる．

$$\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cos x}{2}$$ (33)

2.3.0.4 積を和に変換する公式

加法定理を上手に使えば，三角関数の和を積に変換する公式は得られる．次のようにして 計算することもできる．

$$\cos\alpha\sin\beta =\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\times\frac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i}$$

$$=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}-e^{i(\alpha-\beta)} +e^{-i(\alpha-\beta)}}{4i}$$

$$=\frac{1}{2}\left[ \frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2i} -\frac{e^{i(\alpha-\beta)}-e^{-i(\alpha-\beta)}}{2i}\right]$$

$$=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right]$$ (34)

積を和に変換する残りの公式

$$\cos\alpha\cos\beta= \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right]$$ (35)

$$\sin\alpha\sin\beta= -\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right]$$ (36)

$$\sin\alpha\cos\beta= \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]$$ (37)

も同様に導くことができる．良い練習問題なので，諸君は自力で導いてみよ．

2.3.0.5 積を和に変換する公式

これは，ちょっと変わっていて，次のようにする．

$$e^{i\alpha}+e^{i\beta} =e^{i(\alpha+\beta)/2}e^{i(\alpha-\beta)/2}+ e^{i(\alpha+\beta)/2}e^{i(-\alpha+\beta)/2}$$

$$=e^{i(\alpha+\beta)/2}\left[e^{i(\alpha-\beta)/2}+ e^{-i(\alpha-\beta)/2}\right]$$

$$=\left[\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right]$$

$$\qquad\qquad\times\left[\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+i... ...t(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right]$$

$$=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right]$$

$$=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\... ...i\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$ (38)

ところで，この式の右辺は，次のように書くこともできる．

$$e^{i\alpha}+e^{i\beta} =\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)+\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)$$

$$=\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)+i\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)$$ (39)

もちろん，式(38)と(39)の両式の右辺は等しい．したがっ て，各々の実数部と虚数部が等しくなり，

$$\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$ (40)

$$\sin\alpha+\sin\beta =2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$ (41)

が得られる．これは，三角関数の和を積に直す公式である．同様にして， $e^{i\alpha}-e^{i\beta}$を 計算すると，もう一組の公式

$$\cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$ (42)

$$\sin\alpha-\sin\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$ (43)

が得られる．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志