2 フーリエ級数とフーリエ変換の関係

2.1 フーリエ級数

フーリエ級数の物理的なイメージを持つために，パルス状の電圧の波を考える．具体例として，周波数

[ $\mathrm{Hz}$ ]，パルス幅が

[ $\mathrm{sec}$ ]，振幅

のパルス状の正弦波を考える．

$\displaystyle V(t)= \begin{cases}V_0\sin(2\pi f_0 t)=\sin(\omega_0 t) & -T\leqq t \leqq T \\ 0 & t < -T\quad\text{または}\quad T<t \end{cases}$

(9)

と表すことができる． $\omega_0$ は角振動数と呼ばれる量で， $\omega_0=2\pi f_0$ の関係がある．周波数

を使うと式中に $2\pi$ がいつも顔をだし，じゃまなので角振動数という量が使われる．

これを，区間としてフーリエ級数を考えよう(図1)．パルス幅の1 倍，2倍,3倍，10倍，100倍と変化させた場合のフーリエ係数を知りたいのである．

**図 1:** パルス状の正弦波
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/pulsed_sin.eps}$

このパルス状正弦波は奇関数なので，フーリエ係数のはゼロとなる．いっぽう，は

$\displaystyle b_n$	$\displaystyle =\frac{1}{NT}\int_{-NT}^{NT} V(t)\sin\left(\frac{n\pi t}{NT}\right)\,\mathrm{d}t$
	$\displaystyle =\frac{1}{NT}\int_{-T}^{T} V_0\sin(\omega_0 t)\sin\left(\frac{n\pi t}{NT}\right)\,\mathrm{d}t$	(10)

の積分より計算できる．ここで，

$\displaystyle \omega=\frac{n\pi}{NT}$

(11)

とする．すると，フーリエ係数は $b_n\to b(\omega)$ と書き直してもよいだろう．

$\displaystyle b(\omega)$	$\displaystyle =\frac{1}{NT}\int_{-T}^{T}V_0\sin(\omega_0 t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t$
	$\displaystyle = \begin{cases}\cfrac{V_0}{N} & \omega_0=\omega\\ \cfrac{V_0}{NT}... ...mega_0+\omega)T\right]}{\omega_0+\omega}\right] & \omega_0\ne\omega \end{cases}$	(12)

これを角振動数ではなく，より分かり易い周波数に直すと，

$\displaystyle b(f) = \begin{cases}\cfrac{V_0}{N} & f_0=f\\ \cfrac{V_0}{NT}\left... ...cfrac{\sin\left[2\pi(f_0+f)T\right]}{2\pi(f_0+f)}\right] & f_0\ne f \end{cases}$

(13)

となる．この

を

$\displaystyle T=5 \mathrm{[msec]}$

$\displaystyle V_0=1 \mathrm{[V]}$

$\displaystyle f_0=1 \mathrm{[kHz]}$

(14)

として，グラフにすると次のようになる．

**図 2:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs1.eps}$

**図 3:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs2.eps}$

**図 4:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs3.eps}$

**図 5:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs5.eps}$

**図 6:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs10.eps}$

**図 7:** の場合
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fs100.eps}$

このグラフの結果から，次のことが分かる．

最もピーク電圧の高い周波数は，1[ $\mathrm{kHz}$ ]である．これは，正弦波の周波数となっている．
電圧がゼロとなる周波数が100[ $\mathrm{Hz}$ ]間隔で表れる．式(13)から分かるように，これはパルス幅10[ $\mathrm{msec}$ ]の逆数である．パルス状の波は，パルス幅と同程度，周波数が拡がることを意味している．これは電気では重要で，「パルス幅の短い波は広いスペクトルを持つ」ということを表している．パルス幅の狭いノイズは広いスペクトルを持つので，フィルターでの減衰が難しくなる．
周波数を横軸したピーク電圧は定義している時間幅に反比例している．これはパーセバルの等式を考えれば，納得できる．

2.2 フーリエ変換

つぎに，パルス状の正弦波である式(9)をフーリエ変換する．これは，奇関数なのでフーリエ正弦変換となる．

$\displaystyle V(\omega)$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty V(t)\sin\omega t\,\mathrm{d}t$
	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-T}^{T}V_0\sin(\omega_0 t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t$
	$\displaystyle = \begin{cases}\cfrac{V_0}{\sqrt{2\pi}} & \omega_0=\omega\\ \cfra... ...ega_0+\omega)T\right]}{\omega_0+\omega} \right] & \omega_0\ne\omega \end{cases}$	(15)

あるいは，角振動数ではなく，周波数で表示すると，

$\displaystyle V(f)= \begin{cases}\cfrac{V_0}{\sqrt{2\pi}} & f_0=f\\ \cfrac{V_0}... ...frac{\sin\left[2\pi(f_0+f)T\right]}{2\pi(f_0+f)} \right] & f_0\ne f \end{cases}$

(16)

となる．これを，

$\displaystyle T=5 \mathrm{[msec]}$

$\displaystyle V_0=1 \mathrm{[V]}$

$\displaystyle f_0=1 \mathrm{[kHz]}$

(17)

として，グラフにするとつぎのようになる．

**図 8:** パルス状の正弦波のフーリエ変換
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/ft.eps}$

2.2.1 縦軸と横軸

フーリエ変換の図2～7の横軸は，周波数である．縦軸は，電圧となっている．横軸は周波数である．このことは，式(13)から分かる．

フーリエ変換の図8はどうであろうか?．横軸は明らかに周波数である．縦軸の次元は， $\mathrm{V/Hz}$ となっている．これについては，式(16)から分かる．

2.3 結論

フーリエ変換は，時間情報を周波数情報に変換している．すなわち，時刻の関数で振幅が

が分かったとすると，周波数(角振動数)の関数でその振幅 $F(\omega)$ がわかる．

$\displaystyle F(\omega)$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$	(18)
$\displaystyle f(t)$	$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega$	(19)

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年2月22日