2 台形公式

2.1 台形公式の求め方

定積分、

$$S=\int_a^bf(x)dx$$ (3)

の近似値を数値計算で求めることを考える。積分の計算は、先に示し たように面積の計算であるから、図2のように台形 の面積の和で近似ができるであろう。積分の範囲$[a,b]$を$N$等分した台形で 近似した面積Tは、

$$\begin{aligned}T&=h\frac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\frac{f(a+h)+f(a+2h)... ...{2}\sum_{j=0}^{N-1}\left[f(a+jh)+f(a+(j+1)h)\right] \end{aligned}$$

となる。これが数値積分の台形公式である。なんのことはない、積分を台形の 面積に置き換えているだけである。

図 2: 積分と台形の面積の比較

2.2 台形公式の誤差について

台形公式による数値積分では、分割数$N$を大きくするとその誤差は小さくな ることは直感で分かる。それでは、分割数を増やしていくとどのように精度が 良くなるのか考えてみよう。

まずは、式4のある一つの台形の面積と実際の積分の値を比 較する。台形の面積$t$は、台形公式より、

$$t=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]$$ (5)

となる。これを実際の積分

$$s=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx$$ (6)

と比較することにする。これら2つの式の形がぜんぜん違うので比較できない と考えるかもしれないが、このような場合の常套手段がある。このようなとき には、テーラー展開をすれば良いのである。式(5)を $x_1$の周りで、テイラー展開すると

$$\begin{aligned}t&=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]\\ &=\frac{h}{2}\... ...c{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{2\times3!}h^4+\cdots \end{aligned}$$

となる。これが台形の面積のテイラー展開である。一方、積分の式(6)もテイラー展開する。これは、

$$\begin{aligned}s&=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx \\ % &=\int_0^hf(x_... ...f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{4\times 3!}h^4 +\cdots \end{aligned}$$

となる。この2つの式(7)と( 8)が台形での近似とまっとうに積 分を行ったときのテイラー展開を表す。これらの式を比べると、刻み巾$h$の2 次まで一致している。異なるのは3次以降で、積分の誤差は、

$$\begin{aligned}\vert s-t\vert&=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2\t... ...h^4)\\ &=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}h^3+O(h^4) \end{aligned}$$

と表せる。

これは、一つの台形近似の積分の誤差で、全てトータルの誤差は、

$$\begin{aligned}\vert S-T\vert&=N\vert s-t\vert\\ &=N\frac{f^{\p... ...^{\prime\prime}(x_1)}{12}\frac{(b-a)^3}{N^2}+O(h^4) \end{aligned}$$

となる。要するに積分の誤差は、分割数$N^2$に反比例する。分割数を10倍に すれば、積分の誤差は1/100になるわけである。
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著者: 山本昌志