3 シンプソンの公式

台形公式の考え方は簡単であるが、精度はあまりよくない。そこで、よく似た 考え方で精度が良いシンプソンの公式を説明する。台形公式は、分割点の値を 一次関数(直線)で近似を行い積分を行った。要するに折れ線近似である。ここ で、1次関数ではなく、高次の関数で近似を行えばより精度が上がることは、 直感的に分かる。

2次関数で近似を行うことを考える。2次関数で近似するためには、3点必要で ある。3つの分点をそれぞれ、 $(x_j,\,x_{j+1},\,x_{j+2})$とする。そして、 この2次関数を$P(x)$とする。$P(x)$はラグランジュ補間に他ならないので、

となる。図3に示すとおりである。

図 3: 元の関数を区間 $[x_j,x_{j+2}]$を2次関数で近似する

これを、区間 $[x_j,\,x_{j+2}]$で積分する。紙面の都合上、式 (11)の右辺を各項毎に積分を行う。まず、右 辺第1項であるが、それは以下のようになる。

$$% latex2html id marker 527 \begin{aligned}\text{式(\ref{eq:sim... ...i^2}{2}+2h^2\xi\right]_0^{2h}\\ &=\frac{h}{3}f(x_j) \end{aligned}$$

同様に、第2,3項を計算すると

$$=\frac{4h}{3}f(x_{j+1})$$ 式(11)右辺第2項の積分 (12)

$$=\frac{h}{3}f(x_{j+2})$$ 式(11)右辺第3項の積分 (13)

となる。以上より、近似した2次関数$P(x)$の範囲 $[x_j,\,x_{j+2}]$の積分は、

$$\int_{x_j}^{x_{j+2}}P(x)dx =\frac{h}{3}\left\{f(x_j)+4f(x_{j+1})+f(x_{j+2})\right\}$$ (14)

となる。

これは、ある区間 $[x_j,\,x_{j+2}]$の積分で、その巾は$2h$である。区間 $[a,\,b]$にわたっての積分$S$は、式(15)を足し合わせれ ばよい。ただし、$j=0,2,4,6$と足し合わせる。

$$\begin{aligned}S&=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right... ...\left.\cdots+2f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_N)\right\} \end{aligned}$$

これが、シンプソンの公式と呼ばれるもので、先ほどの台形公式よりも精度が 良い。精度は、$N^4$に反比例する。

この式から、分割数$N$は偶数でなくてはならないことがわかる。これに注意 して、プログラムを作成しよう。

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著者: 山本昌志