3 グリーンの定理

3.1 1変数関数の部分積分

グリーンの定理は,1変数の関数の部分積分の公式に似ている.部分積分は,関数の積の微分

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(fg\right)=f^\prime g+fg^\prime$ (31)

から導ける.両辺を積分し,順番を入れ替えると

$\displaystyle \int f^\prime g \mathrm{d}x = fg-\int f g^\prime \mathrm{d}x$ (32)

となり,部分積分の公式が導かれた.

このように単純な方法で導かれる部分積分の公式は,本当に便利でいたるところに現れる. このベクトル解析版が,次に述べるグリーンの定理である.

3.2 スカラー場での部分積分

[グリーンの定理] スカラー場$ f(x,y,z)$$ g(x,y,z)$があるとする.この領域内の閉じた任意の部分を$ V$ とする.そして,この$ V$の境界面を$ S$とする.すると,以下が成り立つ.

$\displaystyle \int_V(\nabla f\cdot \nabla g+f\nabla^2 g)\mathrm{d}V= \int_S f\nabla g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (33)
$\displaystyle \int_V\left(f\nabla^2g-g\nabla^2 f\right)\mathrm{d}V= \int_S\left(f\nabla g-g\nabla f\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (34)

これをグリーンの定理という
図 5: グリーンの定理の領域
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/green.eps}

【証明】 1   ベクトル解析の恒等式


の両辺を体積積分する.左辺にはガウスの定理を用いると,

$\displaystyle \int_S f\nabla g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\int_V\left(\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2g\right)\mathrm{d}V$ (36)

である.これで,式(33)が証明できた.

式(35)と,これの$ f$$ g$を入れ替変えたの辺々を引き 算すると,

$\displaystyle \nabla\cdot\left(f\nabla g-g\nabla f\right)=f\nabla^2g-g\nabla^2 f$ (37)

となる.同じように体積積分をしてガウスの定理を使うと,式(34)を得る ことができる.

注意 1   グリーンの定理は,

$\displaystyle \nabla f\cdot\boldsymbol{n}= \if 11 \frac{\partial f}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial n^{1}}\fi$ (38)

として,

$\displaystyle \int_V(\nabla f\cdot \nabla g+f\nabla^2 g)\mathrm{d}V =\int_S f \...
...rtial g}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \mathrm{d}S$ (39)
$\displaystyle \int_V\left(g\nabla^2g-f\nabla^2 g\right)\mathrm{d}V =\int_S\left...
...}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$ (40)

と書かれる場合もある.


ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年7月5日


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