3 グリーンの定理

3.1 1変数関数の部分積分

グリーンの定理は，1変数の関数の部分積分の公式に似ている．部分積分は，関数の積の微分

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(fg\right)=f^\prime g+fg^\prime$$ (19)

から導ける．両辺を積分し，順番を入れ替えると

$$\int f^\prime g \mathrm{d}x = fg-\int f g^\prime \mathrm{d}x$$ (20)

となり，部分積分の公式が導かれた．

このように単純な方法で導かれる部分積分の公式は，本当に便利でいたるところに現れる． このベクトル解析版が，次に述べるグリーンの定理である．

3.2 スカラー場での部分積分

定理 3.1 (グリーンの定理)
スカラー場$f(x,y,z)$と$g(x,y,z)$があるとする．この領域内の閉じた任意の部分を$V$ とする．そして，この$V$の境界面を$S$とする．すると，以下が成り立つ．

$$\int_V(\nabla f\cdot \nabla g+f\nabla^2 g)\mathrm{d}V= \int_S f\nabla g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (21)

$$\int_V\left(f\nabla^2g-g\nabla^2 f\right)\mathrm{d}V= \int_S\left(f\nabla g-g\nabla f\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (22)

これをグリーンの定理という

図 5: グリーンの定理の領域

【証明】 1   ベクトル解析の恒等式

$$\nabla\cdot(f\nabla g)=\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2g$$ (23)

の両辺を体積積分する．左辺にはガウスの定理を用いると，

$$\int_S f\nabla g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\int_V\left(\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2g\right)\mathrm{d}V$$ (24)

である．これで，式(21)が証明できた．

式(23)と，これの$f$と$g$を入れ替変えたの辺々を引き 算すると，

$$\nabla\cdot\left(f\nabla g-g\nabla f\right)=f\nabla^2g-g\nabla^2 f$$ (25)

となる．同じように体積積分をしてガウスの定理を使うと，式(22)を得る ことができる．

注意 1   グリーンの定理は，

$$\nabla f\cdot\boldsymbol{n}= \if 11 \frac{\partial f}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial n^{1}}\fi$$ (26)

として，

$$\int_V(\nabla f\cdot \nabla g+f\nabla^2 g)\mathrm{d}V =\int_S f \... ...rtial g}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \mathrm{d}S$$ (27)

$$\int_V\left(g\nabla^2g-f\nabla^2 g\right)\mathrm{d}V =\int_S\left... ...}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$$ (28)

と書かれる場合もある．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志