2 ディラックのデルタ関数

大きさの無い電荷や，作用している時間がゼロの衝撃力等を表したいことがある．このような場合，ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ を使うと便利である．この関数は，

のとき無限大の値となり， $x\neq 0$ ならば値はゼロとなる．そして，積分を行うと1となる関数²である(図 1)．すなわち，

	$\displaystyle \delta(x)=\left\{ \begin{aligned}&0& &x\neq0& \\ &\infty& &x=0& \end{aligned} \right.$	(1)
	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{d}x=1$	(2)

である．これを使うと，都合良く電荷密度を表すことができるが，それはこれからの講義内容である．しかし，衝撃力を表すのにうってつけであることは理解できるであろう．

いろいろな $\delta(x)$ 関数が考えられる．その中でも，直感的にもっともわかり易いのは，図2のようなものである．この図の $\varepsilon \rightarrow 0$ の極限をデルタ関数とする．デルタ関数の定義である式(1)や (2)を満足していることが分かるだろう．

**図 1:** ディラックのデルタ関数
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/delta_func.eps}$

**図 2:** $\varepsilon \rightarrow 0$ の極限がデルタ関数
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/pulse.eps}$

このデルタ関数の重要な関係式を示しておこう．

2.0.0.1 積分1

まずは，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x=f(a)$

(3)

である．これは，図2をデルタ関数として，次のようにして計算できる．

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x$	$\displaystyle =\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{a-\varepsilon/2}^{a+\varepsilon/2}\frac{f(x)}{\varepsilon}\mathrm{d}x$
	$\displaystyle =\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F(a+\varepsilon/2)-F(a-\varepsilon/2)}{\varepsilon}$
	$\displaystyle =f(a)$	(4)

2.0.0.2 積分2

先ほどの積分は直感的に理解できるであろう．それに対して，次はちょっと難しい．

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\mathrm{d}x=-f^\prime(a)$

(5)

これは，次のように，部分積分を使って計算する．

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\mathrm{d}x$	$\displaystyle =\Bigl[f(x)\delta(x)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}- \int_{-\infty}^{\infty}f^\prime(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x$
	$\displaystyle =-f^\prime(a)$	(6)

2.0.0.3 フーリェ変換

これは，計算するまでもなく．

$\displaystyle f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{i\omega t}\mathrm{d}t =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

(7)

となる．これは，非常に短いパルスのノイズは，広帯域の周波数成分があることを示している．これは，フィルターで取り除くことは難しい．

2.0.0.4 三次元

一次元とほとんど，同じで

	$\displaystyle \delta(\boldsymbol{r})=\left\{ \begin{aligned}&0& &\boldsymbol{r}\neq0& \\ &\infty& &\boldsymbol{r}=0& \end{aligned} \right.$	(8)
	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\boldsymbol{r})\mathrm{d}V=1$	(9)

となる．振舞いは，一次元とほぼ同じなので，細かい説明はしない．

2.0.0.5 ラプラシアンとの関係

後で重要となる公式である．電磁気学では，とくに有用である．

$\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})$

(10)

これを証明するためには，ちょっと頑張らなくてはならない．まずは，左辺であるが，以前の課題に出したように

$\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$	$\displaystyle =\nabla\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)$
	$\displaystyle =\nabla\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)\nabla(r)$
	$\displaystyle =\nabla\cdot\left(-\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)$
	$\displaystyle =-\left(\nabla\frac{1}{r^3}\right)\cdot\boldsymbol{r}-\frac{1}{r^3}\nabla\cdot\boldsymbol{r}$
	$\displaystyle =\left(\frac{3}{r^4}\right)\nabla r\cdot\boldsymbol{r}-\frac{3}{r^3}$
	$\displaystyle =\left(\frac{3}{r^4}\right)\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right) \cdot(x,y, z)-\frac{3}{r^3}$
	$\displaystyle =\frac{3}{r^3}-\frac{3}{r^3}$
	$\displaystyle =0$ ただし， $r\neq 0$ のとき	(11)

となる．これで，式(8)の原点( $\boldsymbol{r}\neq 0$ )以外は証明できた．

原点 $(\boldsymbol{r}=0)$ での値を計算するために，式(10)の左辺を体積積分する．図3のように，原点を含まない場合，

$\displaystyle \int_V\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0$

(12)

となる．いまのところ，この結果には面白いところはない．値がゼロのところを積分して，ゼロが得られただけである．

図4のように積分領域に原点が含まれる場合，大事な結果が得られる．原点は特異点なので，そのまま積分はできない．そこで，原点を含まない領域で積分をする．複素関数論でコーシーの積分公式を導くのとと同じ方法である．このようにすると，積分領域に原点が含まれなくなり，積分の値はゼロとなる．そして，連結部を非常に小さくとり，体積積分を面積積分に直すガウスの定理を使うと，式(10)の左辺の体積積分は

$\displaystyle \int_V\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V$	$\displaystyle =\int_S\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$
	$\displaystyle =\int_{S1}\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S+ \int_{S2}\nabla \left(\frac{1}{r}\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$
	$\displaystyle =\int_{V}\nabla^2{\left(\frac{1}{r}\right)}\mathrm{d}V -\int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	(13)

となる．この領域内に原点は含まれないので，この積分の値はゼロとなる．従って，

$\displaystyle \int_{V}\nabla^2{\left(\frac{1}{r}\right)}\mathrm{d}V =\int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(14)

この右辺の領域を球形にする．すると図から明らかに， $\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}$ は

となる．右辺は，表面積を乗じるだけで

$\displaystyle \int_{S2}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	$\displaystyle =-\int_{S2}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}S$
	$\displaystyle =-\frac{4\pi r^2}{r^2}$
	$\displaystyle =-4\pi$	(15)