5 付録

5.1 回転を表す行列について

先週の講義では,2次元を用いて座標変換の具体的な行列を示した.ここでは,より一般 的な3次元の座標変換の行列の性質を示す.ここでは,3次元で議論を進めるが,さらに高 次元でも成り立つ.このあたりの話は,文献 [1]を参考にした.

7のように3次元座標の原点を固定して,それを回転させたとする. ここで,それぞれの軸には単位ベクトルの関係を考える.それぞれ の軸の単位ベクトルの大きさは1で,直交している.従って,元の座標系では,

  $\displaystyle \boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}=1$   $\displaystyle \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j}=1$   $\displaystyle \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k}=1$   (29)
  $\displaystyle \boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=0$   $\displaystyle \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k}=0$   $\displaystyle \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i}=0$   (30)

となる.最初の3つの式が,ベクトルの大きさが1であること示している.次の3つの式が直行関係を表している.同じように回転した座標系でも

  $\displaystyle \boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime=1$   $\displaystyle \boldsymbol{j}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime=1$   $\displaystyle \boldsymbol{k}^\prime\cdot\boldsymbol{k}^\prime=1$   (31)
  $\displaystyle \boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime=0$   $\displaystyle \boldsymbol{j}^\prime\cdot\boldsymbol{k}^\prime=0$   $\displaystyle \boldsymbol{k}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime=0$   (32)

である.それらは基底ベクトルにとることができるので,任意のベクトルを線形和 で表現できる.回転した軸の単位ベクトル $ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$も,元の座標の単位ベクトルの線形和で表すことができる.すなわち,

\begin{equation*}\begin{aligned}\boldsymbol{i}^\prime=a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12...
...mbol{i}+a_{32}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k}\\ \end{aligned}\end{equation*}

である.

これら,単位行列を表す係数$ a_{ij}$の性質を調べる.そこで,回転した座標の単位行列の内積を計算する.先ほどの直交関係を利用すると,

$\displaystyle \boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{i}^\prime$ $\displaystyle =(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k}) \cdot(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k})$    
  $\displaystyle =a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2$ (34)

となる.ベクトル $ \boldsymbol{i}$の大きさは1なので,

$\displaystyle a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=1$ (35)

を導くことができる.ほかの軸でも同様な操作を行うと,

  $\displaystyle a_{21}^2+a_{22}^2+a_{23}^2=1$   $\displaystyle a_{31}^2+a_{32}^2+a_{33}^2=1$   (36)

が得られる.次に,他の軸との内積を計算する.それは,

$\displaystyle \boldsymbol{i}^\prime\cdot\boldsymbol{j}^\prime$ $\displaystyle =(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{12}\boldsymbol{j}+a_{13}\boldsymbol{k}) \cdot(a_{21}\boldsymbol{i}+a_{22}\boldsymbol{j}+a_{23}\boldsymbol{k})$    
  $\displaystyle =a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23}$ (37)

となる.ベクトル $ \boldsymbol{i}^\prime$ $ \boldsymbol{j}^\prime$は直交しているので,

$\displaystyle a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23}=0$ (38)

である.同様に,

  $\displaystyle a_{21}a_{31}+a_{22}a_{32}+a_{23}a_{33}=0$   $\displaystyle a_{31}a_{11}+a_{32}a_{12}+a_{33}a_{13}=0$   (39)

が得られる.ここで,得られた結果をまとめると,

$\displaystyle \sum_{k=1}^3a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij}$ (40)

となる.ここで, $ \delta_{ij}$はクロネッカーの記号と呼ばれ,

$\displaystyle \delta_{ij}= \begin{cases}1 & \text{$i=j$\ の場合} \\ 0 & \text{$i\neq j$\ の場合} \end{cases}$ (41)

と言う意味がある.

ここで,行列 $ \boldsymbol{A}$として

$\displaystyle \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ (42)

を導入する.転置行列は,

$\displaystyle \boldsymbol{A}^T= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$ (43)

となる.すると,式(40)は

$\displaystyle \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T=I$ (44)

と書き直すことができる.ここで, $ \boldsymbol{I}$は単位行列である.この式から,行列 $ \boldsymbol{A}$は直交行列となっていることが分かる.この式から,転置行列が $ \boldsymbol{A}$の逆行列になっていることがわかる.すなわち,

$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^T$ (45)

である.

この行列 $ \boldsymbol{A}$をつかうと,回転した座標系の単位ベクトルを表す式(33)は,

$\displaystyle \begin{bmatrix}\boldsymbol{i}^\prime \\ \boldsymbol{j}^\prime \\ ...
...\begin{bmatrix}\boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}$ (46)

$ \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{T}$なので,

$\displaystyle \begin{bmatrix}\boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k}...
...ymbol{i}^\prime \\ \boldsymbol{j}^\prime \\ \boldsymbol{k}^\prime \end{bmatrix}$ (47)

となる.

この行列 $ \boldsymbol{A}$は座標軸を回転させたとき,座標の成分の変換を表すことを示す.いま,任意の位置ベクトル $ \boldsymbol{r}$を2つの座標系で考える.これは,どちらの座標系から見ても同じベクトルなので,

$\displaystyle \boldsymbol{r}$ $\displaystyle =x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$    
  $\displaystyle =x^\prime\boldsymbol{i}^\prime+y^\prime\boldsymbol{i}^\prime+z^\prime\boldsymbol{i}^\prime$ (48)

と書くことができる.したがって,

$\displaystyle x^\prime\boldsymbol{i}^\prime+y^\prime\boldsymbol{i}^\prime+z^\prime\boldsymbol{i}^\prime$ $\displaystyle =x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$    
     式(47)をつかうと    
  $\displaystyle =x(a_{11}\boldsymbol{i}+a_{21}\boldsymbol{j}+a_{31}\boldsymbol{k}...
...ldsymbol{k}) +z(a_{13}\boldsymbol{i}+a_{23}\boldsymbol{j}+a_{33}\boldsymbol{k})$    
  $\displaystyle =(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z)\boldsymbol{i} +(a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z)\boldsymbol{j} +(a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z)\boldsymbol{j}$ (49)

となる.これらが等しくなるためには,左右のベクトルの係数が等しくなる必要がある.したがって,

$\displaystyle x^\prime$ $\displaystyle =a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z$    
$\displaystyle y^\prime$ $\displaystyle =a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z$    
$\displaystyle z^\prime$ $\displaystyle =a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z$ (50)

である.これを,行列を使った表現にすると,

$\displaystyle \begin{bmatrix}x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{bmatrix} = \...
...a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ (51)

となる.すなわち,単位ベクトルの変換を表す行列は,座標変換を表す行列と同じである.
図 7: 3次元の座標回転
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/three_dim.eps}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年5月26日


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