3 フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数

3.1 偶関数と奇関数

関数の対称性を考えると，フーリエ係数を求める積分が容易になることがある．ここでは， 関数の対称性として，偶関数と奇関数を考える．

$f(-x)=f(x)$ならば偶関数(even function)， $f(-x)=-f(x)$ならば奇関数(odd function) であるという．図3や4に示すように，偶 関数はy軸について対称，奇関数は原点について対称になる．諸君が知っている関数では， 次のようなものがある．

偶関数の例
$\qquad\cdots,\,x^{-4},\,x^{-2},\,1,\,x^2,\,x^4,\,\cdots\qquad \cos x\quad\cosh x\qquad \cdots,\, f(x^{-2}),\,f(x^2),\,f(x^4),\,\cdots$


奇関数の例
$\qquad\cdots,\, x^{-3},\,x^{-1},\,x,\,x^3,\,\cdots\qquad \sin x\quad\tan x\quad \arcsin x \quad \arctan x \quad \sinh x\quad \tanh x$


どちらでもない
$\qquad \arccos x\quad e^x \quad \log x$

偶関数，奇関数の名前の由来???．$x^n$の関数を考えれれば，偶関数および奇関数のそれが理解できる．$n$が偶数の時偶関 数，奇数のとき奇関数になる．そうして，

• $x^2$の場合，$n=2$は偶数;偶関数となる． $f(-x)=f(x)$の関係がありy軸 に対称である．
• $x^3$の場合，$n=3$は奇数;奇関数となる． $f(-x)=-f(x)$の関係があり原点 に対称である．

ということが分かる．

図 3: 偶関数

図 4: 奇関数

図 5: どちらでもない

関数同志の演算に関して，次のような関係がある．偶関数であれば $f(-x)=f(x)$，奇関数 であれば $f(-x)=-f(x)$から，これは容易に理解できる．

$$+ \Rightarrow - \Rightarrow \times \Rightarrow / \Rightarrow$$

$$+ \Rightarrow - \Rightarrow \times \Rightarrow / \Rightarrow$$

$$+ \Rightarrow - \Rightarrow \times \Rightarrow / \Rightarrow$$

さらに，対称性より次の積分の関係も得られる．積分は$x$軸との面積になる--というこ とから，これも容易に分かる．

$$\int_{-a}^a \,\mathrm{d}x=2\int_{0}^a \,\mathrm{d}x \int_{-a}^a \,\mathrm{d}x=0$$ (6)

3.2 偶関数と奇関数のフーリエ級数

偶関数あるいは奇関数の周期関数は，しばしば出会う．このような場合，フーリエ級数は 少しだけ簡単になる．

周期$2L$の関数$f(x)$のフーリエ級数は式(5)から計算するこ とができる．ここで，$f(x)$が偶関数あるいは奇関数の場合を考える．フーリエ係数 $a_n$と$b_n$は，つぎの積分より求めることができる．

$$a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (7)

もし，$f(x)$が偶関数であれば，

$$a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x b_n=0$$ (8)

となる．なぜならば，被積分関数 $f(x)\cos(n\pi x/L)$は偶関数， $f(x)\sin(n\pi x/L)$は 奇関数となり，$y$軸に対して対称と反対称になるからである．一方，$f(x)$が奇関数であれば，

$$a_n=0 b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (9)

となる．これらをまとめると，次の結果が得られる．

フーリエ余弦級数と正弦級数

• 周期関数が偶関数の場合

  $$f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos \frac{n\pi x}{L}$$ (10)

  $$\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

  
  
  これをフーリエ余弦級数と呼ぶ．
• 周期関数が奇関数の場合

  $$f(x) =\sum_{n=1}^\infty b_n\sin \frac{n\pi x}{L}$$ (11)

  $$\qquad b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

  
  
  これをフーリエ正弦級数と呼ぶ．

ここで，ちょっと余談であるが，面白いことを述べよう．対称性の無い関数$f(x)$は，式 (5)のようにフーリエ級数で表すことができる．この式の右 辺は，偶関数であるフーリエ余弦級数と奇関数であるフーリエ正弦級数の和になっている． このことは，対称性のない周期関数であろうとも，偶関数と奇関数に分解できることを示 している．すなわち，

$$= +$$ (12)

である．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志