2 フーリェ級数

2.1 三角関数を用いた展開

前々回の講義で，任意の関数を冪級数で展開(テイラー展開)した．ここでは，もっとけっ たいなことを考えて三角関数で展開してみよう．すなわち，

$$f(x) =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$ (1)

と展開する．最初の項は$\cos 0x=1$のため定数となり，$a_0/2$がその係数である．なんで， 2で割るの???--というツッコミもあるだろう．$a_0$としておいても良いが，あとで $a_0/2$とした方が便利なことがある．今は分からないで良いが，取り合えずこういうも のだと思って，悩まないで欲しい．

この展開式を見て諸君は，展開の係数$a_n$と$b_n$をもとめることに興味があるだろう．そ れをぐっと我慢して，まず関数$f(x)$の右辺の性質を考えることにしよう．関数$f(x)$は，$2\pi$ の周期性という重要な性質がある．定数項である$a_0/2$は， $x\rightarrow x+2\pi$としても値は変わらいない．三角関数の項も， $x\rightarrow x+2\pi$としても値は変わらない．なぜならば，

$$\cos x=\cos(x+2\pi) \cos 2x=\cos2(x+2\pi) \cos 3x=\cos3(x+2\pi) \cdots$$

$$\sin x=\sin(x+2\pi) \sin 2x=\sin2(x+2\pi) \sin 3x=\sin3(x+2\pi) \cdots$$ (2)

となるからである．すなわち式(1)は，

$$f(x)=f(x+2\pi)$$ (3)

となっている．式(1)のどんな$x$であろうとも，この関係は成り 立つ．いかなる$x$に$2\pi$を加えても関数の値はいつも同じ--ということをしめしてい る．これを繰り返すと，どんな$x$に対しても

$$\cdots=f(x-4\pi)=f(x-2\pi)=f(x)=f(x+2\pi)=f(x+4\pi)=\cdots$$ (4)

が得られる．明らかに$2\pi$の周期性がある．これって，どういう意味?--と考える者も いるだろう．これって，図1のような意味である．関数が$2\pi$ で繰り返していることを示している．これが$2\pi$の周期性の意味である．

図 1: $2\pi$を周期とする関数

式(1)の$f(x)$は，$2\pi$を周期とした任意の関数である．任意 の周期関数は，三角関数の和で表すことができる--と言っている．このように周期関数 を三角関数の和で表すことを，フーリェ級数³(Fourier series)と言う．別の考え方 をすると，区間の幅が$2\pi$，例えば $[-\pi,\pi]$のどんな関数でも三角関数の和で表す ことができると式(1)は言っている．テイラー展開は任意の関数 を冪乗の和で表したが，フーリェ級数は三角関数の和で表す．

フーリェ級数の何がうれしいの?--とツッコミを入れるひともいるだろう．世の中のどん な周期関数でも三角関数の和で表すことができる--ということ自体，驚くべきことで， 非常に興味深い．実用的な面--工学--を考えると「どんな周期関数でも三角関数を使っ て計算できる」ということは便利この上ない．諸君がよく知っている三角関数の知識で， 図1のようなけったいな関数の解析ができるのである．後で述べ ることになるが，不連続な関数も取り扱うことができる．そのため，フーリェ解析は工学 の諸問題のいたるところで，出現する．交流回路の理論の底には，フーリェ解析があり， 諸君は知らないうちにそれを使っている．電気回路⁴に 限らずフーリェ解析は線形微分方程式を解くための極めて強力な武器なので，物理学や工 学において光や音，振動の問題にひろく利用されている．近年では，コンピュータグラ フィックスなど分野でもお目にかかる．諸君もフーリェ解析という強力な武器を手に入れ よう．

2.2 フーリエ係数

任意の周期関数をフーリェ級数を使って解析するためには，式 (1)の三角関数の係数--フーリェ係数--$a_n$や$b_n$を 計算する必要がある．さあ，どうするか?． -4pt

• $n$が有限個の場合，連立方程式から計算できる⁵．しかし，式 (1)では$n$は無限であるため，連立方程式はダメだ．
• テイラー展開のように微分をするか;これもダメである．高次の項が都合良く， ゼロにならない．

今までの方法は無理である．先人たちは，教科書 [1]p.222の(2)式の積分 を使ってフーリェ係数を求めた．

2.2.1 準備

フーリェ係数を計算する前に，それに必要な積分を示しておく．$m$と$n$を自然数として， コサインの積を計算する．

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right) \left(\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2}\right)\,\mathrm{d}x$$

$$=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n+m)x}+e^{i(n-m)x}+e^{-i(n-m)x}}{4}\,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x\right]\,\mathrm{d}x$$

$$=\begin{cases}\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(n+m)x}{n+m}+x\right]_{\... ...n(n+m)x}{n+m}+\frac{\sin(n-m)x}{n-m}\right]_{\pi}^{-\pi} & (n\ne m) \end{cases}$$

$$=\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$$ (5)

同じことをサインの積に対して行うと，

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$$ (6)

が得られる．残りは，サインとコサインの積である．これは簡単で，$\sin nx$は奇関数， $\cos mx$は偶関数である．その積は奇関数となる．したがって，

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0$$ (7)

となる．もうひとつ，次の積分

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x = 0$$ (8)

も使う．これで，フーリエ係数を計算する準備ができた．

2.2.2 $a_0$の計算

$a_0$を計算するためには，式(1)を区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行 う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{\infty}... ...pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(8)を使うと

$$=a_0\pi$$ (9)

これより，

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$$ (10)

を計算することにより，$a_0$を求めることができる．これで，係数のひとつが求まった．

この式をよく見ると，$a_0/2$は$f(x)$の平均値となっている．電気回路では，この平均 値のことを直流成分と言う．

2.2.3 $a_n$と$b_n$計算

式(1)の両辺に$\cos mx$を乗じて区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行う-- ことにより，コサインの係数の$a_n$を求める．ただし，$m$は自然数とする．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{... ...nx\cos mx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(8)と (5)，(7)を使うと

$$=a_m\pi$$ (11)

これより，

$$a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,\mathrm{d}x$$ (12)

を計算することにより，$a_m$を求めることができる．ここで，$m=0$の場合を考える．そ うすると，式(10)と同一の式が得られる．したがって，式(10)は 式(12)に吸収され，不要となる．これが，フーリエ級数の最初の項を$a_0$と しないで，$a_0/2$とした理由である．

つぎに，$b_n$を求めるために，式(1)の両辺に$\sin mx$を乗じ て区間 $[-\pi,\pi]$で積分を行う．

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,\mathrm{d}x =\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{... ...nx\sin mx\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x\right\}$$
                式(8)と(7)，(6)を使うと

$$=b_m\pi$$ (13)

これより，

$$b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,\mathrm{d}x$$ (14)

を計算することにより，$b_m$を求めることができる．

2.3 収束について

式(1)の両辺が等号で結ばれるためには， $n\rightarrow\infty$の 時左辺が$f(x)$に収束することを証明しなくてはならない．教科書 [1]の p.311-315ページにその証明が載っている．この講義に時間的な余裕があれば，後で証明 する．興味のある者は，自分で勉強せよ．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志