2 境界条件と初期条件

2.1 方程式を解くための条件

微分方程式や偏微分方程式を解き，値--ここでは弦の振幅--を求める場合，次のような境界条件や 初期条件が必要となる． 14pt

• すなわち問題を解く場合の境界--定義域の端のこと--で値を指定すること がある．この指定した値のことを境界条件という．
• 時刻$t=0$の時に課す値のことを，初期条件という．むろん，条件を課す時刻はい つでもよいが，一般には計算に都合の良い$t=0$を選ぶ．

方程式で求める量--ここでは振幅--が，条件として与えられることもあるが，その微 分の値が条件になることもある．もっと複雑な場合もある．

教科書では，このプリントで述べる初期条件と境界条件を合わせて，境界条件と記述して いる．しかし，電気の業界では，境界条件と初期条件は区別している．この講義は「電気 数学」なので，これらは区別する．

ここでは，これらの境界条件から，式(13)の$C_n$と$D_n$を決める方 法をしめす．これらの係数を決定することにより，弦の振動が完全にきまる．

2.2 境界条件

弦の振動の境界条件は，

$$X(0,t)=0 X(L,t)=0$$ (14)

である．物理的には，弦の両端を固定している--ことに対応している．すでに，この条 件は式(13)に含まれている．空間に関する波動方程式の解のうち $\sin$の項のみを選んだ過程を思い出せ．

2.3 初期条件

式(13)の$C_n$と$D_n$は，時刻$t=0$の弦の形と速度分布より決めること ができる．$t=0$のときの形と速度を

$$y(x,0)=f(x)$$ (15)

$$\if 11 \cfrac{\partial y(x,0)}{\partial t} \else \cfrac{\partial^{1} y(x,0)}{\partial t^{1}}\fi =v(x)$$ (16)

とする．この様子を図2と3に示 す．これらを初期条件という．初期の弦の形$f(x)$と速度分布$v(x)$は問題として 与えられるので既知である．偏微分方程式(1)は，初期条件以降の弦の運 動を表す．

図 2: $t=0$の波形$f(x)$

図 3: $t=0$の速度分布$v(x)$

偏微分方程式の解である式(13)が初期条件を満足するように$C_n$と $D_n$を決めれば，波動方程式が完全に解けたことになる．それらの値は，初期条件と比 較することにより決めることができる．式(13)の$t=0$の弦の形と速 度は，

$$y(x,0) =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (17)

$$\if 11 \cfrac{\partial y(x,0)}{\partial t} \else \cfrac{\partial^{1} y(x,0)}{\partial t^{1}}\fi =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (18)

となる²．

解の式から求めたこれらは，初期条件である式 (15)と(16)に等しい．だから，

$$f(x) =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (19)

$$v(x) =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (20)

となる．この式から，既知である$f(x)$と$v(x)$を使い$C_n$と$D_n$を決めれば，全て解 けたことになる．問題は，この式から$C_n$と$D_n$を決めることである．

ここで，$C_n$と$D_n$を求める前に，$f(x)$と$v(x)$の性質を考える．$f(x)$や$v(x)$の 定義域は$[0,\,L]$である．したがって，$f(x)$や$v(x)$はフーリエ級数，フーリエ正弦 級数，フーリエ余弦級数などで展開できる．また，$x=0$と$x=L$で弦は固定されているので，

$$f(0)=f(L)=0$$ (21)

$$v(0)=v(L)=0$$ (22)

となる．これらのことから，$f(x)$と$v(x)$はフーリエ正弦級数で展開する--ことが望 ましい．係数の収束も早いし，式(19)や (20)との対応も良い．すなわち

$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}p_n\sin\frac{n\pi x}{L} \quad p_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (23)

$$v(x)=\sum_{n=1}^{\infty}q_n\sin\frac{n\pi x}{L} \quad q_n=\frac{2}{L}\int_0^L v(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (24)

である．

これらの式を，式(19)や(20)に代入すると

$$\sum_{n=1}^{\infty}p_n\sin\frac{n\pi x}{L} =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (25)

$$\sum_{n=1}^{\infty}q_n\sin\frac{n\pi x}{L} =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (26)

となる．したがって，

$$p_n=C_n q_n=D_n\frac{n\pi c}{L}$$ (27)

である．これから，

$$C_n =p_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (28)

$$D_n =\frac{L}{n\pi c}q_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L v(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (29)

と$C_n$と$D_n$を求めることができる．これで，波動方程式が境界条件や初期条件の元， 完全に解けたことになる．解は，次のように書くことができる．

$$y(x,t)=\sum_n\left(p_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}+ \frac{Lq_n}{n\pi c}\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}\right)$$ (30)

2.4 具体的な弦の振動の例

2.4.1 ラの音を出す

鉄でできたギターの弦でラの音を出すことを考える．弦の長さを0.6[ $\mathrm{m}$]直径は 0.5[ $\mathrm{mm}$]とする．鉄の密度は7.8[ $\mathrm{g/cm^3}$]なので，線密度 $\rho=1.5\times 10^{-3}$[ $\mathrm{kg/m}$]となる．

音の高低は，弦の張力で調整できる．音の振動数$f$を表す式は，式 (30)より，

$$f=\frac{nc}{2L}$$ (31)

となる．基本波($n=1$)を考えると，波の速度を$c=2Lf$になるように調整すれば良い．波 の速度は，

$$c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$$ (32)

である．したがって，必要な張力は，

$$T=4L^2f^2\rho$$ (33)

となる．先ほどのギターの弦の長さと線密度で，ドの音(440Hz)を出すためには， 必要な張力は$T=418$[ $\mathrm{N}$]となる．

2.4.2 弦の振動の状態

先ほどの状態のギターの弦を実際に振動させてみよう．どのように振動するであろうか? 弦の初期状態を図4のようにする．弦の中央をゆっくりとつま んで，そして離す．

図 4: 弦の初期状態

式(30)の$p_n$と$q_n$を決めれば，弦の振動は確定する．そのた めに初期条件を考えよう．$t=0$の時，弦の速度はどこでもゼロなので，$v(x)=0$である． したがって，式(24)より，

$$q_n=0$$ (34)

となる．残りの$p_n$は，式(23)を用いて計算する．弦の初期状態は

$$f(x)= \begin{cases}\alpha x & 0\leq x \leq \cfrac{L}{2}\\ \alpha (L-x) & \cfrac{L}{2}\leq x \leq L \end{cases}$$ (35)

と書くことができる．ここで，$\alpha$は弦の傾き，$L$は弦の長さである．これから， $p_n$は，式(23)を使うと次のように計算できる．

$$p_n =\frac{2}{L}\int_0^{L/2}\alpha x \sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x+ \frac{2}{L}\int_{L/2}^{L}\alpha (L-x) \sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{2}{L}\left[ -\alpha x \frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L} \... ...}+ \frac{2\alpha}{L}\int_0^{L/2}\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$\qquad +\frac{2}{L}\left[ -\alpha(L-x)\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\p... ...L- \frac{2\alpha}{L}\int_{L/2}^L\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{\alpha L}{n\pi}\cos\frac{n\pi}{2} +\frac{2\alpha}{L}\left... ...-\frac{2\alpha}{L}\left[\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi x}{L}\right]_{L/2}^L$$

$$=\frac{4\alpha}{L}\left(\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}\right)$$

$$=\frac{4\alpha L}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}$$ (36)

$q_n=0$なので，弦の振動は，

$$y(x,t)=\sum_n \frac{4\alpha L}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}$$ (37)

となる． $\sin(n\pi/2)$の項は$n$が偶数の場合ゼロとなる．したがって，$n$は奇数のみ を加算すればよい．すると，

$$y(x,t) =\sum_{N=1}^\infty \frac{4\alpha L}{(2N-1)^2\pi^2}(-1)^{N-1} \sin\frac{(2N-1)\pi x}{L}\cos\frac{(2N-1)\pi ct}{L}$$

$$=\sum_{N=1}^\infty \frac{(-1)^{N-1}4\alpha L}{(2N-1)^2\pi^2} \sin\frac{(2N-1)\pi x}{L}\cos\frac{(2N-1)\pi ct}{L}$$ (38)

となる．これが，最初の図4の状態の弦の振動を表す式である． これを弦の条件

$$\alpha=\frac{1\times 10^{-3}}{0.3} L=0.6 \frac{\pi c}{L}=2\pi\times 440$$ (39)

を代入するとドの音がでる．位相が30度ごとの弦の状態を図5〜 10にしめす．想像もつかないような弦の形になる．なぜ，このようなこ とが生じるか，物理的な理由を考えてみよ．

図: 時刻 0[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.18939[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.37879[ $\mathrm{msec}$]
図: 時刻 0.56818[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.75758[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.94697[ $\mathrm{msec}$]

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著者: 山本昌志