1 本日の学習内容

1.1 先週までの復習

1.1.1 フーリエ変換

フーリエ変換(Fourier transform)は，時間情報を周波数情報に変換している．すなわち， 時刻の関数で振幅が$f(t)$が分かったとすると，周波数(角振動数)の関数でその振幅 $F(\omega)$がわかる．

$$F(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$ (1)

$$f(t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega$$ (2)

この式は，次のように理解する．

• $f(t)$の $e^{i\omega t}$成分--すなわち角振動数$\omega$の成分の波-- $F(\omega)$は，ベクトルの内積を用いて成分を見出すように，関数を定義域で乗じて積 分を行う．
• $f(t)$は，周波数毎の振幅$F(\omega)$にその波 $e^{\i \omega t}$を加えあわせた ものである．

1.1.2 導関数のフーリエ変換

導関数のフーリエ変換は，電気では極めて重要なのでもう一度，話しておく．導関数 $f^\prime(t)$のフーリエ変換を考える．フーリエ変換の定義の式(1)に代入し，部分積分を行うと，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm... ...ty}^\infty +\frac{i\omega}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}$$ (3)

が得られる．自然界の物理量$f(t)$は，

$$\lim_{t\to -\infty}f(t)=\lim_{t\to \infty}f(t)=0$$ (4)

である．なぜならば，無限に続く波は存在しないからである．したがって，この式の右辺 の第一項はゼロとなり，導関数のフーリエ変換は，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 11 \frac{\,\mathrm... ... \frac{\,\mathrm{d}^{1} f(t)}{\,\mathrm{d}t^{1}}\fi e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t =\frac{i\omega}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$

$$=i\omega F(\omega)$$ (5)

となる．ようするに導関数のフーリエ変換は，元の関数のフーリエ変換の$i\omega$倍である．

2階の導関数のフーリエ変換も考えてみよう．同じように部分積分の公式を使うと，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 12 \frac{\,\mathrm... ...rm{d}t} \else \frac{\,\mathrm{d}^{1} f(f)}{\,\mathrm{d}t^{1}}\fi e^{-i\omega t}$$ (6)

となる．式(4)から， $f^\prime(-\infty)=f^\prime(\infty)=0$であ る．これから，右辺第一項はゼロとなる．右辺第二項は，導関数のフーリエ変換となって いる．したがって，二階の導関数のフーリエ変換は，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 12 \frac{\,\mathrm... ... f(t)}{\,\mathrm{d}t^{2}}\fi e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t =(i\omega)^2 F(\omega)$$ (7)

となる．同じ計算を進めると，$n$回の導関数のフーリエ変換は，

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \if 1n \frac{\,\mathrm... ... f(t)}{\,\mathrm{d}t^{n}}\fi e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t =(i\omega)^n F(\omega)$$ (8)

となる．

1.2 本日の学習内容

本日の内容は，教科書から離れてる．本日のゴールは次のとおりである．

• フーリエ変換を利用して電気回路のインピーダンスが求められる．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志