3 オームの法則と起電力

3.1 オームの法則

オームの法則(ohm law)もさんざん学習してきたので、分かっていると思う。ここでは、それを場の式に書き改める。

まず、図5のような棒である。この両端に定常電流を流すと、それに比例した電圧が発生する。これをオームの法則と言い、

$\displaystyle V=IR$

(12)

と書き表せる。この比例定数

を電気抵抗(あるいは抵抗)と呼ばれる量で、かなり広い範囲で電圧や電流に依存しないで一定の値である。しかし、物質やその状態、形には依存する。抵抗の単位は[ $\Omega$ ]と書き、オームと読む。SI組み立て単位だと、[ $m^2\cdot kg S^{-3}A^{-2}$ ]である。

実験によると、この抵抗は導体の長さに比例して、断面積に反比例する。すなわち、

$\displaystyle R=\rho\frac{L}{S}$

(13)

である。この比例定数 $\rho$ を抵抗率と言う。この抵抗率は導体の形に依存しないで、導体固有の値である。すなわち、導体の物性値である。また、抵抗が断面積に比例すると言うことは、電流は導体の内部全体にわたって流れていることを表している。

それでは、次にいつものようにこれを場の量で表すことにする。まずは、オームの法則を

$\displaystyle V=I\rho\frac{L}{S}$

(14)

と書き改める。これはいつでも成立するので、非常に小さい領域で考えることにする。すると、

$\displaystyle \Delta V=\Delta I\rho\frac{\Delta L}{\Delta S}$

(15)

が成り立つ。これを変形して、

$\displaystyle \frac{\Delta V}{\Delta L}=\rho\frac{\Delta I}{\Delta S}$

(16)

である。左辺は電場、右辺の $\Delta I/\Delta S$ は電流密度を表す。従って、

$\displaystyle \boldsymbol{E}=\rho \boldsymbol{j}$

(17)

である。通常、 $\rho$ の逆数である電気伝導率 $\sigma$ をつかって、この式は

$\displaystyle \boldsymbol{j}=\sigma \boldsymbol{E}$

(18)

と書かれる。これが、場の量で書かれたオームの法則である。

**図 5:** オームの法則
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Ohm_law.eps}$

3.2 オームの法則の電子論

ここでは、オームの法則が成り立つためには、導体中で電子の運動について述べる。この辺の話は、文献 [1]を参考にしている。

導体中では、電子の移動が電流を担う。固定された金属原子のイオンの間を電子が通りすぎて、それが電流となる。電流は電荷の移動であったことを思い出せ。金属に外部から電場をかけない場合、その電子は熱運動のため、勝手な方向に運動をして、トータルな電子の移動は生じない(図6)。すなわち電流が生じない。ここで、外部から電場をかけるとその方向とは逆に電子は移動し始める(図 7)。これが電流である。電流が流れ始めても、その速度は圧倒的に熱運動に起因するものの方が大きい。

**図 6:** 電子は熱運動により、勝手な方向に動いている。
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/electorn_without_E.eps}$

**図 7:** 熱運動と電場から受ける力による運動が合成される。
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/electorn_with_E.eps}$

抵抗がどのようにして生じるかは、電子の運動を考えなくてはならない。電子はイオンと衝突を繰り返して、移動する。1回の衝突で、電子は曲げられて運動量が変化する。これを何回か繰り返すと初期状態によらず、全ての方向の同じ確率で運動量を持つようになる。ここでは、話を簡単にするために、1回の衝突で最初の運動量の記憶を忘れて全ての方向に同じ確率で運動量を持つとしよう(図8)。