5 ガウス・ザイデル法

ヤコビ法の特徴では、 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$の近似値は、すべてその前の値 $\boldsymbol{x}^{(k)}$を 使うことにある。大きな行列を扱う場合、全ての $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$と $\boldsymbol{x}^{(k)}$を記 憶する必要があり、大きなメモリーが必要となり問題が生じる []。今では、個人で大きなメモリーを使い計算することは許されるが、ちょっと前まで はできるだけメモリーを節約したプログラムを書かなくてはならなかった。

そこで、 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$の各成分の計算が終わると、それを直ちに使うことが考えば、 メモリーは半分で済む。即ち、$x_i^{k+1}$を計算するときに、

$$\begin{multline} x_i^{k+1}=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-( a_{i1}x_1^{(k+1)}+a_{i2}x_2... ...+2}^{(k)}+a_{ii+3}x_{i+3}^{(k)}+\cdots+ a_{in}x_n^{(k)})\right\} \end{multline}$$

とするのである。実際の計算では、k+1番目の解は

$$\begin{aligned}&x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left( a_{12}... ...)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \\ \end{aligned}$$

と計算できる。これが、ガウス・ザイデル法である。

このガウス・ザイデル法は、k番目とk+1番目の解を混ぜて使うという、大胆なことをやっ ているが、研究の結果、収束条件はヤコビ法とほとんど同じと言うことである。ヤコビ法 と比べてどちらが良いかというと

• メモリーの節約を考えた場合、ガウス・ザイデル法に軍配が上がる。
• 計算速度では、ガウス・ザイデル法の方が早いと思われる。

となる。ヤコビ法を使うよりは、ガウス・ザイデル法を使う方が良いであろう。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志