4 ヤコビ法

計数行列 $\boldsymbol{A}$の対角行列を反復計算の行列 $\boldsymbol{S}$としたものがヤコビ(Jacobi)法で ある。ここでも、ヤコビは顔を出す。ヤコビ法では、係数行列を

$$\left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... ... & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & 0 \end{array} \right]$$ (20)

と分解する。右辺第1項が行列 $\boldsymbol{S}$で第2項が $-\boldsymbol{T}$となる。 $\boldsymbol{x}_{k+1}$の解の 計算に必要な $\boldsymbol{S}$の逆行列は、それが対角行列なので、

$$\boldsymbol{S}^{-1}= \left[ \begin{array}{@{\,}ccccc@{\,}} a_{11}... ...dots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -a_{nn}^{-1} \end{array} \right]$$ (21)

と簡単である。k+1番目の近似解は、 $\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{S}^{-1}\left(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{T}\boldsymbol{x}_k\right)$なので容易に求めるこ とができる。実際、k番目の解

$$x_1^{(k)},\,x_2^{(k)},\,x_3^{(k)},\,\cdots,\,x_n^{(k)}$$

とすると、k+1番目の解は

$$\begin{aligned}&x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left( a_{12}... ...k)}+ \cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k)}\right)\right\} \\ \end{aligned}$$

と計算できる。これが、ヤコビ法である。行列の形で表すと

$$\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{D}^{-1}\left\{\boldsymbol{b}- \left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{D}\right)\boldsymbol{x}^{(k)}\right\}$$ (23)

となる。ここで、 $\boldsymbol{D}$は係数行列 $\boldsymbol{A}$の対角成分から作った対角行列である。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志