3 高階の常微分方程式

3.1 4次のルンゲ・クッタ法を使う方法

ここまで示した方法は、わりとエレガントな方法です。しかし、1階の常微分方程式しか取り扱えないので不便です。そこで、高階の常微分方程式を1階の連立微分方程式に直す方法を示します。要するに、高階の常微分方程式を連立 1階常微分方程式に直し、4次のルンゲ・クッタ法を適用すると言うことです。例えば、次のような3次の常微分方程式があったとします。

$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}(x)=f(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})$

(29)

初期条件は、

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}y(a_0)&=b_0\\ y^{\prime}(a_1)&=b_1\\ y^{\prime\prime}(a_2)&=b_2 \end{aligned} \right.\end{equation*}$

とします。この3階常微分方程式を次に示す式を用いて変換します。

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}y_0(x)&=y(x)\\ y_1(x)&=y^{\prime}(x)\\ y_2(x)&=y^{\prime\prime}(x) \end{aligned} \right.\end{equation*}$

この式を用いて、式(29)を書き直すと

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}y_0^{\prime}(x)&=y_1(x)\\ y_1^{\prime}(x)&=y_2(x)\\ y_2^{\prime}(x)&=f(x,y_0,y_1,y_2) \end{aligned} \right.\end{equation*}$

となります。これで、3階の常微分方程式が3元の1階の連立常微分方程式に変換されました。1階の微分方程式ということで、4次のルンゲ・クッタ法が使えます。以下の通りです。

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}k_{01}&=hy_{1\_n}\\ k_{11}&=hy_{2\_n}\\ ... ...+\frac{1}{6}(k_{21}+2k_{22}+2k_{23}+k_{24}) \end{aligned} \right.\end{equation*}$

3.2 練習問題

以下の高次常微分方程式を連立1階微分方程式に書き換えなさい。

$\displaystyle (1)$	$\displaystyle \hspace{2mm}$	$\displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+5y=0$	$\displaystyle \hspace{30mm}$	$\displaystyle (2)$	$\displaystyle \hspace{2mm}$	$\displaystyle y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+y=0$
$\displaystyle (3)$		$\displaystyle 5y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}+3y=0$		$\displaystyle (4)$		$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+xy=0$
$\displaystyle (5)$		$\displaystyle 5y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=\sin(\omega x)$		$\displaystyle (6)$		$\displaystyle xy^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=e^{x}$
$\displaystyle (7)$		$\displaystyle 5y^{\prime\prime}y^{\prime}+y^{\prime}+y=0$		$\displaystyle (8)$		$\displaystyle y^{\prime\prime}y^{\prime}+x^2y^{\prime}y+y=0$

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著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年8月21日