電子計算機10進数と2進数(小数)
2進数の小数の表現方法を学習します．
目次
講義を始める前に
本日の授業のテーマ
本日の授業のテーマは，以下のとおりです．
- ビットと2進数
- 小数
- 2進数小数から、10進数小数への変換
- 10進数小数から、2進数小数への変換
本日の授業のゴールは、以下のとおり。
- 2進数とビットの関係がわかる。
- 小数の表記も、整数の延長として捕らえることができる。
- 2進数と10進数との間で、小数の変換ができる。
先週の復習
- いろいろな数の表記方法があります。N進数の場合、N個の底で数を表現します。
N進数 底 2 進数 0, 1 8 進数 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 進数 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16 進数 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F - コンピューターの内部で、10進数を使わないで、2進数を使う理由は、
- ノイズに強い
- ハードウェアｰを実現するのが容易
- 演算が簡単
- ブール代数が使えて、論理演算が容易
- 我々が通常用いていうる、数の表現の意味は、次の通りです。数字の並ぶ順序が重要です。 \begin{align} (1905)_{10}=(1\times 10^3+9\times 10^2+0\times 10^1+5\times 10^0)\nonumber \end{align}
- 2進数から、10進数への変換は、通常の表記法を考えれば、簡単に計算できます。 \begin{align} (1101)_2 &= (1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0)\nonumber\\ &=(8+4+0+1)\nonumber\\ &=(13)_{10}\nonumber \end{align}
- 逆に、10進数から2進数への変換は、2で割った余りを並べることにより計算できます。
それぞれは、\((19)_{10}=(10011)_2\)，\((2003)_{10}=(11111010011)_2\)である。
図1: 19を2進数に
図2: 2003を2進数に
ビットと2進数
2進数で数字を表す方法が理解できたと思います。小数や負の数の表現を学ぶ前に、ビットと2進数の関係について、説明をしておいたほうが良いでしょう。
以前、情報の単位として、ビットというものを示したでしょう。このビットと2進数の関係を示します。1ビットでは、2個の状態を表すことができます。2ビットでは4個の状態、3ビットでは8個の状態を表現できます。Nビットあると、2N個の状態を表すことができます。以前に学んだ通りです。
例えば、PICと呼ばれている1チップマイコンでは、図1に示すRB0~RB7のピンがビットに対応しています。これらの8個のピンにより、デジタル信号を入出力します。8本のピンを使っているので、8ビットです。したがって、28=256通りの状態を表すことが出来ます。
0—255の間の整数を出力する場合、以下のピンが各ビットを表します。
図3: PICのピン配列
| ピン番号 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 名称 | RB7 | RB6 | RB5 | RB4 | RB3 | RB2 | RB1 | RB0 |
| 名称 | bit 7 | bit 6 | bit 5 | bit 4 | bit 3 | bit 2 | bit 1 | bit 0 |
したがって、\((183)_{10}=(10110101)_2\) を出力する場合、各ピンの電圧は、
| ピン番号 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 電圧 [V] | 5 | 0 | 5 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 |
| 2進数 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
となります。5Vが2進数の1を表しています。
図4: 10進数と2進数
この例から分かるように、2進数の各桁は各ビット(bit 0, bit 1, bit 2, …)を表し、桁数は情報の量(単位:ビット)を表します。
小数の表現
10進数での小数の表現を考えます。整数の場合と同様に、
\begin{align} (0.1235)_{10}=(1\times 10^{-1}+2\times 10^{-2}+3\times 10^{-3}+5\times 10^{-4}) \label{eq:2003} \end{align}と表現されます。小数点を境に、右側の指数部が -1, -2, -3 と 1 づつ減少していきます。これは、先に示した整数の場合と全く同じです。簡単ですね。
当然、
\begin{align} 10^{-1}&=\frac{1}{10^1}=\frac{1}{10}=0.1 \nonumber\\ 10^{-2}&=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0.01 \nonumber\\ 10^{-3}&=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0.001 \\ &\vdots\nonumber\\ 10^{-N}&=\frac{1}{10^N} \nonumber\\ \end{align}は分かっていますよね。
基数の変換
変換(2進数小数 → 10進数小数)
2進数での少数の表記も、10進数の場合と同様です。だから、2進数少数を10進数少数に変換するのは簡単です。たとえば、
\begin{align} (0.10101)_2 &= (1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+0\times 2^{-4}+1\times 2^{-5})\nonumber\\ &=(1\times 0.5+0\times 0.25+1\times 0.125+0\times 0.0625+1\times 0.03125)_{10}\nonumber\\ &=(0.5+0.125+0.03125)_{10}\\ &=(0.65625)_{10}\nonumber\\ \end{align}となります。当然、
\begin{align} 2^{-1}&=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}=0.5 \nonumber\\ 2^{-2}&=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25 \nonumber\\ 2^{-3}&=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0.125 \\ &\vdots\nonumber\\ 2^{-N}&=\frac{1}{2^N} \nonumber\\ \end{align}は分かっていますよね。
変換 (10進数小数 → 2進数小数)
つぎに逆を考えましょう。たとえば、先ほどの 0.65625 を
\begin{align} (0.65625)_{10}=(a_1\times 2^{-1}+a_2\times 2^{-2}+a_3\times 2^{-3}+a_4\times 2^{-4}+a_5\times 2^{-5}+\cdots) \end{align}と表現したいのです。それぞれ、\(a_n\)を求めなくてはなりません。両辺 ×2 を実行してみましょう。
\begin{align} (1.3125)_{10}=(a_1\times 2^0+a_2\times 2^{-1}+a_3\times 2^{-2}+a_4\times 2^{-3}+\cdots) \end{align}となります。この式の両辺の整数部、および小数部同志は等しいので、
\begin{align} (1)_{10}&=a_1 \\ (0.3125)_{10}&=(a_2\times 2^{-1}+a_3\times 2^{-2}+a_4\times 2^{-3}+\cdots) \nonumber \end{align}となります。\((1)_{10}=(1)_2\)なので、\(a_1=1\)となります。同じように、残りの小数部分を 2 倍すると、
\begin{align} (0.625)_{10}=(a_2\times 2^0+a_3\times 2^{-1}+a_4\times 2^{-2}+a_5\times 2^{-3}+\cdots) \end{align}となります。同様に、整数部、および小数部同志は等しいので、
\begin{align} (0)_{10}&=a_2 \\ (0.625)_{10}&=(a_3\times 2^{-1}+a_4\times 2^{-2}+a_5\times 2^{-3}+\cdots) \nonumber \end{align}となります。したがって、a2=0です。次々に、同じ計算を進めると、
\begin{align} &\begin{cases} (1.25)_{10}=(a_3\times 2^{0}+a_4\times 2^{-1}+a_5\times 2^{-2}+a_6\times 2^{-3}+\cdots)\nonumber\\ \qquad\Downarrow \nonumber\\ (1)_{10}=a_3\nonumber\\ (0.25)_{10}=(a_4\times 2^{-1}+a_5\times 2^{-2}+a_6\times 2^{-3}+\cdots)\nonumber\\ \end{cases}\\ \nonumber\\ &\begin{cases} (0.5)_{10}=(a_4\times 2^{0}+a_5\times 2^{-1}+a_6\times 2^{-2}+a_7\times 2^{-3}+\cdots)\\ \qquad\Downarrow \\ (0)_{10}=a_4\\ (0.5)_{10}=(a_5\times 2^{-1}+a_6\times 2^{-2}+a_7\times 2^{-3}+\cdots)\\ \end{cases}\\ \nonumber\\ &\begin{cases} (1.0)_{10}=(a_5\times 2^{0}+a_6\times 2^{-1}+a_7\times 2^{-2}+a_8\times 2^{-3}+\cdots)\nonumber\\ \qquad\Downarrow \nonumber\\ (1)_{10}=a_5\nonumber\\ (0.0)_{10}=(a_6\times 2^{-1}+a_7\times 2^{-2}+a_8\times 2^{-3}+\cdots)\nonumber\\ \end{cases} \end{align}最後に、小数部がゼロとなったので計算は、完了です。以上をまとめると
\begin{align} (0.65625)_{10}&=(a_1\times 2^{-1}+a_2\times 2^{-2}+a_3\times 2^{-3}+a_4\times 2^{-4}+a_5\times 2^{-5}+\cdots)\nonumber\\ &=(1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+0\times 2^{-4}+1\times 2^{-5})\\ &=(0.10101)_2 \end{align}です。要するに、小数部を2倍して、その整数部を書いていけばよいのです。
よく使われるのは、図5のようにして計算します。2倍して、整数部を書き出して、小数部を再度2倍します。これを繰り返すと、10進数小数が、2進数小数に変換できます。
10進数の0.1は循環小数ではありませんが、2進数にすると、
\begin{align} (0.1)_{10}=(0.000110011001100110011\cdots)_2 \end{align}と循環小数になります。通常は、途中まで(必要な精度まで)で、計算を打ち切ります。
図5: 小数の基数変換(10進数 → 2進数)