電子計算機10進数と2進数
数(正の整数)の表記方法を示します．そして，10進数と2進数の相互の変換方法を学びます．
目次
講義を始める前に
本日の授業のテーマ
本日の授業のテーマは，以下のとおりです．
- 2進数と10進数
- 2進数から、10進数への変換
- 10進数から、2進数への変換
本日の授業のゴールは、以下のとおり。
- 10進数と2進数の相互の変換ができる。
先週の復習
- ビットとは情報の単位である。
- 1ビットの情報は、2個の状態を表すことができる。たとえば、
- 電流(電圧)が流れいているか、いないか ← コンピューター内部
- 磁化の方向がNかSか、(磁化されているか、いないか) ← ハードディスク
- 電荷がたっているか、いないか ← 半導体メモリ
- 受光できたか否か ← 光通信
- 2ビットでは4個の状態、3ビットでは8個の状態を表現できる。Nビットあると、2N個の状態を表すことができます。
- ビットは不連続量で、自然数です。0.5ビットは有りません。
- 正8面体サイコロの状態を表すのに必要なビット数は3です。8個の状態があるからです。
- そのサイコロを2回振った場合、そのサイコロの目を記録するのに必要な情報量は、6ビットです。考え方は、2通り有ります。
- 一回目のサイコロの目(1~8)を記録するのに、3ビット必要。同様に、二回目のサイコロの目(1~8)を記録するのにも、3ビット必要。あわせて、6ビット必要になります。
- 一回目のサイコロの目は、8通りの可能性があります。同様に、二回目のサイコロの目も、8通りの可能性があります。合わせて、8×8 = 64通りの可能性があります。これは、64 = 26です。したがって、6ビット必要になります。
- 1kg単位で、クラス全員の体重を記録するために、何ビット必要か? 一人の体重は、1~128kgの範囲である。したがって、一人を記録するためには27 = 128であるため、7ビット必要です。クラス全体で、7ビット×42人=294ビット必要になります。
- CDの話は、少し複雑なので省略します。いずれ、講義ノートをwebページに掲載するつもりです。そのとき、見てください。
- 先週の授業で言い忘れました。情報科学の世界では、ビット(bit)以外に、バイト(Byte)という単位も使われます。補助単位も使われます。
1 Byte(バイト) = 8 bits (ビット)以下のような補助単位が使われます．
自然科学では1000=103で単位が変わりますが、情報科学では1024 = 210で変わります。1 kByte = 1024 Byte キロ k = 210 = 1024 1 MByte = 1048576 Byte メガ M = 220 = 1048576 1 GByte = 1073741824 Byte メガ G = 230 = 1073741824 1 TByte = 1099511627776 Byte テラ T = 240 = 1099511627776
新たな世界へ (2進数の世界)
N進数法とは
通常使われる数字は、10進法です。これは、0~9の数字を用いて、数を表現します。コンピューターの内部では、2進法を使っています。0と1だけの2個の数字で、すべての数を表現します。1ビットという単位が2個の状態を表すのと対応しています。
N個の数字で数を表すのをN進数といいます。また、基数がNと言うこともあります。また、その底は、(0, 1, 2, 3, …, N-1)です。例えば、
| 数の表現 | 基数 | 底 |
|---|---|---|
| 2進数 | 2 | 0, 1 |
| 8進数 | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| 10進数 | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| 16進数 | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
です。
| 原始人の数の記録 | 2進法 | 8進法 | 10進法 | 16進法 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
 |
1 | 1 | 1 | 1 |
 |
10 | 2 | 2 | 2 |
 |
11 | 3 | 3 | 3 |
 |
100 | 4 | 4 | 4 |
 |
101 | 5 | 5 | 5 |
 |
110 | 6 | 6 | 6 |
 |
111 | 7 | 7 | 7 |
 |
1000 | 10 | 8 | 8 |
 |
1001 | 11 | 9 | 9 |
 |
1010 | 12 | 10 | A |
 |
1011 | 13 | 11 | B |
 |
1100 | 14 | 12 | C |
 |
1101 | 15 | 13 | D |
 |
1110 | 16 | 14 | E |
 |
1111 | 17 | 15 | F |
 |
10000 | 20 | 16 | 10 |
 |
10001 | 21 | 17 | 11 |
 |
10010 | 22 | 18 | 12 |
 |
10011 | 23 | 19 | 13 |
なぜ2進数で表現するか
人間の指は、10本あります。そのため、人類は10進法を使っていると言われています。コンピューターの内部では、電圧が0Vか5V(もっと低い場合もある)で表現をします。指が2本しかないのと同じです。だから、コンピューターは2進法を使うのです。
では、2進法を使うメリットとは、何があるのでしょうか? 10進法ではなく、2進法を使う理由は、どこにあるのでしょうか? 大体、以下の理由が挙げられます(教科書P.11)。
- ノイズに強い
0 – 10Vで動作する素子からできたコンピューターを考えよう。2ビットと10ビットの場合、割り当てられる電圧のレベルは、図1の通りです。図から分かるように、許されるノイズは、2ビットの方が格段に大きくなります。1ビットのエラーも許されないデジタルコンピューターにおいては、この差は大きい。
図1: 電圧の振り分け(2進数10進数)
- ハードウェアｰを実現するのが容易
コンピューター内部には、単純な動作をする。同じような部品が数多くあります。2進数であれば、入力は0と1、出力も0と1なので、構成する1個の部品が非常に単純になります。
- 演算が簡単
例えば、掛け算九九を考えると分かります。10進数だと、0~9までの掛け算、合計100通りあります。2進数だと、4通りしかありません。
- ブール代数が使えて、論理演算が容易
ブール代数については、後の講義で勉強します。ここでは、省略。
とはいえ、世界初の電子計算機ENIACは、10進法が使われていました。それ以降の通常の電子計算機は、すべて2進法です。
数字の表現方法
例えば、今年は2003年です。10進数の2003の表記はどのような意味があるのでしょうか? これは、次のように解釈します。えらそうですが、こう解釈すると、他の底の数字の意味がわかりやすくなります。
\begin{align} (2003)_{10}=(2\times 10^3+0\times 10^2+0\times 10^1+3\times 10^0) \label{eq:2003} \end{align}括弧の下の10は、10進法の意味です。
コーヒーブレイクゼロがない時代は、大変だったのです。ゼロが無いと、(1)のような表記は出来ません。0 (ゼロ)が発見されたのは、6世紀頃のインドと言われています。西暦0年がないのは、このためです。西暦が考えられた頃は、ゼロがなかったのです。
変換(正の整数の場合)
数の変換 (2進数から10進数へ)
これは、簡単です。式\eqref{eq:2003}を理解していれば、分かります。2進数であろうが、10進数であろうが、表記法は同じです。すなわち、
\begin{align} (10011)_2 &= (1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)\nonumber\\ &=(16+0+0+2+1)_{10}\nonumber\\ &=(19)_{10} \end{align}となります。ただ、基数が違うだけです。ところで、この演算を施すと、なぜ、10進数に変換されるのでしょうか? 3進法や5進数ではなく、われわれが普通に使う10進数に変換された理由は、なぜでしょうか? 10進数は特別なのでしょうか? いいえ、10進数は特別ではありません。みなさん、考えてください。
数の変換 (10進数から2進数へ)
つぎに逆を考えましょう。たとえば、先ほどの19を
\begin{align} (19)_{10}=(a_0\times 2^0+a_1\times 2^1+a_2\times 2^2+a_3\times 2^3+a_4\times 2^4+\cdots) \end{align}と表現したいのです。それぞれ、\(a_n\)を求めなくてはなりません。そこで、次の変形を考えましょう。
\begin{align} (9\times 2+1)_{10}=(a_1\times 2^0+a_2\times 2^1+a_3\times 2^2+a_4\times 2^3+\cdots)\times 2+a_0 \end{align}となります。これをよくにらむと、\(a_0 = 1\)ということが分かります。すなわち、\(a_0\)は19を2で割ったあまりです。残りの部分は、
\begin{align} (9)_{10}=(a_1\times 2^0+a_2\times 2^1+a_3\times 2^2+a_4\times 2^3+\cdots) \end{align}となることも分かるでしょう。同じことをすると、
\begin{align} (4\times 2+1)_{10}=(a_2\times 2^0+a_3\times 2^1+a_4\times 2^2+a_5\times 2^3+\cdots)\times 2+a_1 \end{align}となります。したがって、\(a_1 = 1\)になります。しつこいようですが、さらに同様に進めると、
\begin{align} (2\times 2+0)_{10}&=(a_3\times 2^0+a_4\times 2^1+a_5\times 2^2+a_5\times 2^3+\cdots)\times 2+a_2& \Rightarrow &&a_2=0 \nonumber\\ (1\times 2+0)_{10}&=(a_4\times 2^0+a_5\times 2^1+a_6\times 2^2+a_7\times 2^3+\cdots)\times 2+a_2& \Rightarrow &&a_3=0 \\ (0\times 2+1)_{10}&=(a_5\times 2^0+a_6\times 2^1+a_7\times 2^2+a_8\times 2^3+\cdots)\times 2+a_2& \Rightarrow &&a_3=1 \nonumber\\ \end{align}となります。最後の式から、\(a_n=0\quad(n\geq 5)\)が分かります。以上をまとめると
\begin{align} (19)_{10}&=(a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+a_0\times 2^0) \nonumber\\ &=(1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0) \nonumber\\ &=(10011)_2 \end{align}です。要するに、2で割ったあまりを書いていけばよいのです。よく使われるのは、以下のようにして計算します。
図2: 19を2進数に
図3: 2003を2進数に
それぞれは、
\begin{align} (19)_{10}&=(10011)_2\\ (2003)_{10}&=(11111010011)_2 \end{align}に対応します。よく、内容を理解して、変換の練習をしてください。