メッシュ生成

Netgen

Triangle

ラプラス方程式

Helmholtz方程式

定常伝熱問題

熱伝導方程式

定式化

その他

研究内容有限要素法メッシュ生成::Netgen

メッシュ生成Netgen3-D finite element mesh generator

有限要素法に使うメッシュジェネレーター Netgen のインストールと使い方を説明します．

はじめに

有限要素法 (FIM: Finite Element Method) のプログラム作成で，最も面倒なのはメッシュ生成の部分です．以前は自分でメッシュ生成のプログラムも書いていましたが，しばらくプログラム作成に離れると，メッシュ生成のソースコードの修正が面倒になりました．そんな折，急ぎで有限要素法のプログラムの作成が必要となりました．「自作するかフリーのプログラム使うか?」選択に迫られました．時間は1日，フリーのプログラムを使うことに決定．

ネットで調べたところ，(1) NETGEN – automatic mesh generator，(2) Triangle (A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator) が良さそうです．

インストール

Linux

私の ubuntu 14.04 には，Joachim Schöberl/ngsolve-docu の installdebian に従い Netgen と NGSolve をインストールしました．もし，Netgen のみであれば，「sudo apt-get install netgen」でインストールできます．

gcc の準備: 以下のコマンドを順番に実行します．

$ sudo apt-add-repository ppa:ubuntu-toolchain-r/test
$ sudo apt-get update
$ sudo apt-get install gcc-4.9 g++-4.9

Netgen と NGSolve のインストール: 以下のコマンドを順番に実行します．

$ sudo apt-add-repository universe
$ sudo apt-add-repository "deb http://asc.tuwien.ac.at/~mhochsteger/ubuntu `lsb_release -sc`_`dpkg --print-architecture`/"
$ sudo apt-get update
$ sudo apt-get install netgen ngsolve

Windows

Windows へのインストールは，結構問題があります．私は上手くどうさせることができていません．

とりあえず実行してみよう

Tutorial on Using NGSpy にあるサンプルファイルを使い Netgen/NGSolve の実行の確認をしましょう．

解くべき問題 (ラプラス方程式)

図1と式(\ref{eq:laplace})–(\ref{eq:G2})に，解くべき問題の領域及び境界条件を示します．二次元ラプラス方程式を特問題です．

\begin{align} -\nabla\cdot(\varepsilon\nabla u)&=0 &&\text{on}\,\Omega \label{eq:laplace}\\ \cfrac{\partial u}{\partial\vm{n}}&=0 &&\text{on}\,\Gamma_0 \label{eq:G0}\\ u&=1 &&\text{on}\,\Gamma_1 \label{eq:G1}\\ u&=0 &&\text{on}\,\Gamma_2 \label{eq:G2} \end{align}

ここで，$u$はポテンシャル (電圧です)．内部には二つの電極があり，それぞれ 1 [V] と 0 [V] の電位が与えられています．比誘電率 ($\varepsilon$) が 1 と 10 と異なる領域に分かれています．計算領域の外周では，電場の法線成分がゼロという境界条件が課せられています．このような条件で，ポテンシャル $u$ を計算せよ — というのが問題です．

図1: 問題の設定