A. 変分法

計算領域$\Omega$でのポテンシャルを$\phi$とする．このポテンシャルをパラメーターと した汎関数$U[\phi]$

$$U[\phi]=\int_V \frac{\varepsilon}{2}\left(\nabla \phi \cdot\nabla \phi \right) \mathrm{d}V$$ (19)

を考える．これから，この汎関数が停留値をとるとき，そのときの$\phi$はラプラス方程 式を満足することを示す．ラプラス方程式を満足するので，真の解となる．

汎関数が停留値になる条件は，その第一変分がゼロである．式(21)の 凡関数の第一変分$\delta U$は

$$\delta U=\left\{\lim_{\alpha\rightarrow 0}\frac{U[\phi+\alpha v]-U[\phi]}{\alpha}\right\}\alpha$$ (20)

である．ここで$\alpha$は任意の実数，$v$は領域$\Omega$の境界ではゼロとなる任意の関数で ある．したがって，汎関数の式(21)の第一変分は，

$$\delta U =\left\{ \lim_{\alpha\rightarrow 0}\frac{ \int_{\Omega}\frac{\var... ...arepsilon}{2}\nabla \phi \cdot\nabla \phi \mathrm{d}V } {\alpha} \right\}\alpha$$

$$=\alpha\int_{\Omega}\varepsilon\nabla\phi\cdot\nabla v\mathrm{d}V$$ (21)

となる．ここで，次の微分

$$\div{(\varepsilon v \nabla \phi )}=\varepsilon\nabla v\cdot\nabla \phi +v\div{(\varepsilon\nabla \phi )}$$ (22)

を使うと，汎関数式(23)は

$$\delta U =\alpha\int_{\Omega}\div{(\varepsilon v \nabla \phi )}\mathrm{d}V -\alpha\int_{\Omega}v\div{(\varepsilon\nabla \phi )}\mathrm{d}V$$

$$=\alpha\int_{\Omega}\varepsilon v \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S -\alpha\int_{\Omega}v\div{(\varepsilon\nabla \phi )}\mathrm{d}V$$ (23)

となる．右辺第一式の積分はゼロとなる．なぜならば，関数$v$は考えてる領域 $\Omega$の境界でゼロとなる関数であるからである．したがって，

$$\delta U=-\alpha\int_{\Omega}v\div{(\varepsilon\nabla \phi )}\mathrm{d}V$$ (24)

である．汎関数の第一変分$\delta U$がゼロとなるためには，

$$\div{(\varepsilon\nabla \phi )}=0$$ (25)

とならなくてはならない．関数$v$は任意の関数であるため， $\div{(\varepsilon\nabla \phi )}$がゼロの場合のみ積分の値がゼロになる． $\div{(\varepsilon\nabla \phi )}$がゼロでなくても特定の$v$で積分がゼロになることは ある．しかし，任意の$v$となると話は別である．

ここでの結論は，「式(21)の汎関数の第一変分をゼロにすることと， 式(27)の微分方程式と解くことは等価」である．ようするに，式 (27)の微分方程式の解は，式(21)の積分が停 留値--しばしば極小値--になるような関数$\phi$と同一である．

式(21)の積分は，静電場のエネルギーになっている．境界条件を満た しつつ，このエネルギーが最低になる状態が実際の状態である．ここでは，この積分が極 小になる$\phi$を計算することになる．

この静電場も最小エネルギーの問題になっている．しばしば，物理的に安定な状態はエネ ルギーが最低になる．この静電場の問題もその例の一つである．

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著者: 山本昌志