電磁気学スツルム・リウヴィル理論

自己随伴演算子

自己随伴演算子で記述される微分方程式には，極めて重要で便利な性質があります．そして，この型の微分方程式は様々なところで現れます．

一般的な線形二階微分方程式の演算子は， \begin{align} \mathcal{L}u(x)=p(x)\ddiffB{2}{}{x}u(x)+r(x)\ddiffA{}{x}u(x)+q(x)u(x) \end{align} です．これは非常に一般的な演算子なので，特に便利というわけではありません．そこで，随伴演算子(エルミート演算子) \(\bar{\mathcal{L}}\)を考えます．それは， \begin{align} \bar{\mathcal{L}}u(x) &=\ddiffB{2}{}{x}[p(x)u(x)]-\ddiffA{}{x}[r(x)u(x)]+q(x)u(x)\nonumber\\ &=p(x)\ddiffB{2}{}{x}u(x)+(2p^\prime-r)\ddiffA{}{x}[r(x)u(x)]+q(x)u(x) \end{align} です．係数の関数が微分演算子の中に入ります．一次の項は，正負が反転します．これらの２つの演算子が等しい，\(\mathcal{L}=\bar{\mathcal{L}}\) 条件は， \begin{align} p^\prime(x)=r(x) \end{align} です．この条件が満たされると， \begin{align} \mathcal{L}u(x)&=\bar{\mathcal{L}}u(x)\nonumber\\ &=p(x)\ddiffB{2}{u(x)}{x}+p(x)^\prime\ddiffA{u(x)}{x}+q(x)u(x)\nonumber\\ &=\ddiffA{}{x}\left[p(x)\ddiffA{u(x)}{x}\right]+q(x)u(x) \end{align}

物理学，特に量子力学でよく使われる式に， \begin{align} \left\langle u\left | \mathcal{L} \right | u\right\rangle = \left\langle u\left | \mathcal{L} u\right . \right\rangle = \int_a^b u(x)\mathcal{L}u(x)\diff x \end{align}

境界条件

よく知られているように微分方程式の解を得るためには，境界条件が必要になります．しばしば使われる境界条件は，次の通りです．

• コーシーの境界条件  境界で関数の値と放線微分の値を指定する．

自己随伴演算子

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last update:2017/05/21 18:40:05