電磁気学スツルム・リウヴィル理論

スツルム・リウヴィル理論について，ちょっとまとめます．内容は，ジョージ・アルフケン著「基礎物理数学2 — 関数論 —」(講談社)の内容です．

スツルム・リウヴィルの定理

スツルム・リウヴィルの定理は，微分方程式の解の性質を述べた定理です．具体的には，以下の通りです．対象としている微分方程式は特殊だし，制限も多いです．「こんなの役に立つのか?」と思うかもしれませんが，実際には多くの物理現象の解析に応用されます．ここでは，単に定理の証明にとどまらず，その応用例についても触れます．

最初に，この定理が対象としている問題について説明します．式\eqref{eq:SL_ODE}が対象としている微分方程式です．この微分方程式を構成する関数のうち，$p(x),\,q(x),\,w(x)$ は与えられます (既知)．解として得るべきものは，固有値: $\lambda$ と固有関数: $u(x)$ です．要するに，微分方程式で解くべきものは，固有値と固有関数となります．

定理 1 (スツルム・リウヴィルの定理)

有限区間 $[a,b]$ で，次の微分方程式を考える．

\begin{align} \ddiffA{}{x}\left[p(x)\ddiffA{u(x)}{x}\right]+\left[q(x)+\lambda w(x)\right]u(x)=0 \label{eq:SL_ODE} \end{align}

ここで $p(x), p'(x), q(x), w(x)$ は実数値の連続関数であり，常に $p(x)>0$，$w(x)>0$ とする．$\lambda$ は境界条件を満たす解が存在するように定まる定数である．

この微分方程式に，次の同次境界条件を課す．

\begin{align} A_1u(a)+A_2u^\prime(a)&=0,\\ B_1u(b)+B_2u^\prime(b)&=0 \end{align}

ただし $A_1,A_2,B_1,B_2$ は実定数であり，$(A_1,A_2)$，$(B_1,B_2)$ はそれぞれ同時に 0 ではないとする．

この境界値問題に 0 でない解が存在するとき，その $\lambda$ を固有値，対応する解を固有関数という．固有値 $\lambda$ はすべて実数である．さらに，異なる固有値 $\lambda_m$，$\lambda_n$ に属する固有関数をそれぞれ $u_m(x)$，$u_n(x)$ とすると，これらは重み関数 $w(x)$ を入れた内積に関して直交し，

\begin{align} \int_a^b w(x)u_m(x)u_n(x)\diff x=0 \qquad (m\ne n) \end{align}

が成り立つ．つまり，微分方程式と境界条件から決まる固有関数は，重み $w(x)$ 付きの直交関数系になる．

減の振動

方程式と解

スツルム・リウヴィル問題の例として，弦の振動を考えます．これは，もっとも単純な問題ですが，物理的に重要な例です．この弦の振動(振幅)を表す微分方程式は次のようになります．

\begin{align} \ddiffB{2}{u(x)}{x}-\lambda u(x)=0 \end{align}

$x=0, $\pi$ を固定した弦の振動$

図1: x=0, $\pi$; を固定した弦の振動

直交性

フーリエ級数

線形代数tの比較

一般化(スツルム・リウヴィルの定理)

自己随伴演算子

自己随伴演算子で記述される微分方程式には，極めて重要で便利な性質があります．そして，この型の微分方程式は様々なところで現れます．

一般的な線形二階微分方程式の演算子は， \begin{align} \mathcal{L}u(x)=p(x)\ddiffB{2}{}{x}u(x)+r(x)\ddiffA{}{x}u(x)+q(x)u(x) \end{align} です．これは非常に一般的な演算子なので，特に便利というわけではありません．そこで，随伴演算子(エルミート演算子) $\bar{\mathcal{L}}$を考えます．それは， \begin{align} \bar{\mathcal{L}}u(x) &=\ddiffB{2}{}{x}[p(x)u(x)]-\ddiffA{}{x}[r(x)u(x)]+q(x)u(x)\nonumber\\ &=p(x)\ddiffB{2}{}{x}u(x)+(2p^\prime-r)\ddiffA{}{x}[r(x)u(x)]+q(x)u(x) \end{align} です．係数の関数が微分演算子の中に入ります．一次の項は，正負が反転します．これらの２つの演算子が等しい，$\mathcal{L}=\bar{\mathcal{L}}$ 条件は， \begin{align} p^\prime(x)=r(x) \end{align} です．この条件が満たされると， \begin{align} \mathcal{L}u(x)&=\bar{\mathcal{L}}u(x)\nonumber\\ &=p(x)\ddiffB{2}{u(x)}{x}+p(x)^\prime\ddiffA{u(x)}{x}+q(x)u(x)\nonumber\\ &=\ddiffA{}{x}\left[p(x)\ddiffA{u(x)}{x}\right]+q(x)u(x) \end{align}

物理学，特に量子力学でよく使われる式に， \begin{align} \left\langle u\left | \mathcal{L} \right | u\right\rangle = \left\langle u\left | \mathcal{L} u\right . \right\rangle = \int_a^b u(x)\mathcal{L}u(x)\diff x \end{align}

境界条件

よく知られているように微分方程式の解を得るためには，境界条件が必要になります．しばしば使われる境界条件は，次の通りです．

コーシーの境界条件境界で関数の値と放線微分の値を指定する．

ページ作成情報

参考資料

ジョージ・アルフケン, 関数論, 基礎物理数学2, 1903, 講談社

更新履歴

2015年12月04日

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