3 静磁場

[1] 半径$ a$の無限に長い円柱状の導体内を,一様な密度で強さ$ I$の電流が流れているとき, 円柱の内外に生じる磁束密度を求めよ.

軸対称問題なので,円柱座標系を使うのが簡単である.電流があるときの静磁場は,アン ペールの法則

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}$    

を用いると簡単に計算できる.円柱状の導体内部の電流密度 $ \boldsymbol{j}$は,$ I/\pi a^2$で ある.当然,導体外部では $ \boldsymbol{j}=0$となる.

アンペールの法則をストークスの定理を用いて,積分形に書き改めると,

$\displaystyle \oint \boldsymbol{B}\cdot\ell=\mu_0\int_S\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}S$ (35)

となる.円柱の中心を$ r=0$として,円柱の内部と外部でこれを積分することを考える. 当然,磁場は円柱座標系のr方向成分$ B_r$のみである.従って,積分は,

$\displaystyle 2\pi rB_r= \begin{cases}\mu_0\pi r^2\cfrac{I}{\pi a^2}=\mu I\cfra...
...a^2} & 0\leq r\leq a\text{の場合}\\ \mu_0 I & a \leq r\text{の場合} \end{cases}$ (36)

となる.これから,磁束密度は,

$\displaystyle B_r= \begin{cases}\cfrac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} & 0\leq r\leq a\text{の場合}\\ \cfrac{\mu_0 I}{2\pi r} & a \leq r\text{の場合} \end{cases}$ (37)

と求められる.






[2] 図の直線電流$ I$のABの部分が,図のP点につくる磁束密度は

$\displaystyle B(P)=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\left[\cos\theta_1-\cos\theta_2\right]$    

で与えられることを示せ.
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Current.eps}

点Oから直線電流に沿った座標を$ x$とする.Aの方向が負でBの方向が正とする.このとき の微小磁場は,ビオ・サバールの法則より

$\displaystyle \mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\frac{\mathrm{d}x\times\boldsymbol{r}}{r}$    

となる.ここで,P点での磁場は紙面と垂直方向であり, $ \vert\mathrm{d}
x\times\boldsymbol{r}/r\vert=\sin\theta \mathrm{d}x$となる.xの位置によらず磁場の方向は同じなの で, $ \mathrm{d}B$とスカラーで書いても良いだろう.微小磁場は,

$\displaystyle \mathrm{d}B=\frac{\mu_0 I\sin\theta\mathrm{d}x}{4\pi r^2}$    

となる.これを積分すればよいのだが,そのために,

  $\displaystyle \tan\theta=-\frac{R}{x}$   $\displaystyle r\sin\theta=R$      

をつかう.これらから,

  $\displaystyle \mathrm{d}x=\frac{R}{\sin^2\theta}\mathrm{d}\theta$   $\displaystyle r=\frac{R}{\sin\theta}$      

これらを使うと,

$\displaystyle \mathrm{d}B=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\theta\mathrm{d}\theta$    

となり,AからBまで積分を行うと,

$\displaystyle B$ $\displaystyle =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\theta\mathrm{d}\theta$    
  $\displaystyle =\frac{\mu_0I}{4\pi R}\left[\cos\theta_1-\cos\theta_2\right]$    

となる.







ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年7月24日


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