3 静電磁場

静電磁場を拡張して，時間変動の項を取り扱うのが分かりやすくて良いだろう．そのために静電磁場の復習をする．

静電場と静磁場はともにベクトル場である．ベクトル場を記述する微分方程式の完全な組は，その発散と回転であることは以前に示したとおりである．そこで，電場 $\boldsymbol{E}$ と磁場 $\boldsymbol{B}$ の発散と回転を示すことにする．

3.1 静電場の場合

2つの電荷があるとそれぞれは力を及ぼしあい，その力について述べたものがクーロンの法則である．図1のように2つの電荷がある場合，

の電荷が

に及ぼす力 $\boldsymbol{F}_{2}$ は，

$\displaystyle \boldsymbol{F}_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert^3}$

(3)

となる．これがクーロンの法則で，それは，

力の大きさは，それらの距離の2乗に反比例し，電荷量の積に比例する
力の方向は，2つの電荷を結ぶ直線状で，同じ電荷同士の場合は斥力で，異なる電荷であれば引力となる

と言っているのである．これから，直ちに作用・反作用の法則が成り立っていることが分かる．

**図 1:** クーロン力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Coulomb_law.eps}$

これが静電場のすべてで，どんな問題でもこれを計算すれば原理的に解ける．宇宙全体の電荷をすべて計算すればよいのであるが，それは実際的でない．そのため，いろいろと数学的な工夫がなされた．ただ，数学的に式を変形したと思ってはならない．かなり重要な概念が導入されることになる．

導入された概念のうち最も重要なものは，場の概念である．このクーロンの法則から静電場と言うものが考えられる．電荷が静電場を作り，その静電場が電荷に力の作用を及ぼすのである．先のクーロンの法則から，電荷は $\boldsymbol{r_2}$ の位置にと言う電場を作るのである．この電場が電荷に作用して， $\boldsymbol{F}_{2}$ という力を及ぼすのである．これは，

	$\displaystyle \boldsymbol{E}_2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert^3}$	(4)
	$\displaystyle \boldsymbol{F}_{2}=q_2\boldsymbol{E}_2$	(5)

と書くことができる．これらの式は，式(3)とまったく同じと思えるかもしれない．しかし，決定的に異なることがある．式(3)は遠隔力で，何もない空間を通して力が2つの電荷間にに作用している．一方，式 (4)や式(5)は近接作用となっており，電荷は場を変化させて，その場の変化が力を生み出していると考える．

電場求めることが静電場の中心的な問題となる．これが分かれば全ての静電場の性質が分かるからである． $\boldsymbol{r}^\prime$ の位置にある電荷が $\boldsymbol{r}$ の位置につくる電場 $\boldsymbol{E}$ を求める．これは式(4)から，直ちに

$\displaystyle \boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert^3}$

(6)

と得られる．この様子を図2にしめす．

**図 2:** 電荷が作る電場
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/E_by_q.eps}$

電荷が電荷密度 $\rho\,\mathrm{[C/m^3]}$ で連続的に分布する場合，位置 $\boldsymbol{r}$ での電場は，式(6)より

$\displaystyle \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{... ...}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert^3} \mathrm{d}V^\prime$

(7)

となる． $\rho(\boldsymbol{r}^\prime)$ は， $\boldsymbol{r}^\prime$ での電荷密度と言う意味である．ここでの電荷密度は， $\boldsymbol{r}^\prime$ の関数であって $\boldsymbol{r}$ の関数ではない．これに注意して，ベクトル解析の知識を使うと，

$\displaystyle \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_... ...bla \frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$

(8)

となることが分かる．ここで，積分の変数は $\boldsymbol{r}^\prime$ であるが，勾配 $\nabla$ は $\boldsymbol{r}$ を変数とする．この変数の違いには注意が必要である．

式(8)の両辺の発散を計算する．

$\displaystyle \div{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})}$	$\displaystyle =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{V^\prime} \rho(\boldsymbol{r}... ...bla \frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$
	$\displaystyle =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V^\prime} \rho(\boldsymbol{r}^... ...^2{\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}} \mathrm{d}V^\prime$
	$\displaystyle \quad\qquad\nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1\vert}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)$ より ( $\delta$ 関数のプリントを見よ)
	$\displaystyle =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V^\prime} \rho(\boldsymbol{r}^... ...t\{-4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)\right\} \mathrm{d}V^\prime$
	$\displaystyle =\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{V^\prime} \rho(\boldsymbol{r}^\prime)\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \mathrm{d}V^\prime$
	$\displaystyle =\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon_0}$	(9)

これで，電場の発散が計算できた．当然，この式の座標変数は $\boldsymbol{r}$ のみなので，

$\displaystyle \div{\boldsymbol{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

(10)

と書いてもよい． $\boldsymbol{r}^\prime$ がないので，間違えることはない．この式を微分形のガウスの法則と言う．

ベクトル場の微分方程式の片割れが分かった．残りは，回転である．先ほど，同様に一般化されたクーロンの法則の式(8)の両辺の回転を計算する．式(8)の両辺の発散を計算すると次のようになる．

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$	$\displaystyle =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{V^\prime} \rho(\boldsymbol{r}... ...bla \frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$
	ベクトル恒等式 $\nabla\times \nabla \phi =0$ より
	$\displaystyle =0$	(11)

これで，電場の回転が求まった．電場の回転はゼロである．

以上をまとめると，電場を表す微分方程式は，

$\displaystyle \div{\boldsymbol{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{E}=0$

(12)

と書ける．

3.2 静磁場の場合

つぎに静磁場 $\boldsymbol{B}$ を考える．静電場の場合，電場を作るものは電荷であった．それに対して，静磁場の場合の磁荷というものは発見されていない．従って，磁場の発散はつねにゼロである．

$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$

(13)

実際に磁場を作るものは電流である．1本の無限に長い直線電流 $\boldsymbol{I}$ が作る磁場は，

$\displaystyle B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}$

(14)

となる．磁場は半径に比例するため，電流を内部に含む閉じた曲線の線積分は

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I$

(15)

となることは以前述べたとおりである．ここの電流

は積分路の内側である．これが連続的に，密度 $\boldsymbol{j}$ で分布していると考えると，

$\displaystyle \oint\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mu_0\int\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$

(16)

となる．ここで，ストークスの定理， $\oint \boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int\nabla\times \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ の出番である．これを式(16)の左辺に適用する．すると両辺とも面積分になる．この面積分は任意の領域で成り立つ．したがって，両辺の被積分関数は等しくなくてはならない．すなわち，

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}$

(17)

である．これで，無限に長い直線電流がつくる磁場，正確には磁束密度の回転が得られた．これは直線電流に限らず，くねくねまがる電流でも成り立つ．

以上の結果をまとめると，磁場が満たす方程式は，

$\displaystyle \div{\boldsymbol{B}}=0$

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{j}$

(18)

となる．

静磁場の微分方程式の導出は静電場に比べて，汚い．静電場の方は教科書から離れて少し理論的に示した．それに対して，静磁場は教科書のとおりとしている．静磁場の方も静電場同様に美しく導き出すことも可能である．ビオ-サバールの法則を出発点として，ベクトル解析とデルタ関数を上手に使う方法である．思い出してほしい，静電場ではクーロンの法則を出発点として，ベクトル解析とデルタ関数を使って，場の方程式を示した．

デルタ関数を使うと直観に頼らなくて済む分，すっきりとした理論展開ができる．しかし，物理的なイメージがわかり難くなる弊害がある．両方を教えるべきと思うが，大変多くの時間が必要となる．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年7月26日