3 静磁場の基本法則

3.1 ビオ・サバールの法則

式(5)は，無限に長い電流が作る磁場である．これが 分かると，微小な長さ $\mathrm{d}z$が作る磁場の式が欲しくなる．磁場は全ての電流を積分 して得られる--となると理論を考えるのに大変都合が良い．図 6のような状況を考える．図中の点 $\mathrm{P}$の作る磁場は， 式5から分かっている．ここの磁場は， $\mathrm{d}z$が 作る磁場 $\mathrm{d}B$を足しあわせたもの--積分--になるはずである．したがって，

$$\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{R}}{R^2}=\int_{-\infty}^\infty f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})\mathrm{d}z$$ (6)

となる $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$があるはずである．このように表すと， $\mathrm{d}z$が作る磁場 $\mathrm{d}B$は

$$\mathrm{d}B=f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})\mathrm{d}z$$ (7)

となる．ここまでくれば， $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$の関数形を求めることが重要な問題となる． ビオとサバールはここまで考えて歴史に名前を残した．だれでもここまでたどり着ければ， 関数形を見つけることはできるであろう．科学史に名前を残すためには，時代の最先端に たどり着くことが如何に大事か--がわかる．

$\mathrm{d}B$がベクトルなので， $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$もベクトルになる必要がある．幸いな ことに，磁場$B$は電流 $\boldsymbol{I}$とも位置 $\boldsymbol{r}$にも垂直である．そこで，微小磁場 $\mathrm{d}B$は，ベクトル積 $\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}$に関係がある--と類推できる．また，遠 距離$r$が離れると，磁場が小さくなることも理解できるであろう．問題は距離の何乗で 小さくなるか?--である．ここでは，距離の2乗としてみよう．間違っていれば，1乗に したり，3乗にしてみて，正しい関数形を探せばよい．科学史に名前を残すことを考える と，これくらいの努力をしてもよいだろう．これまでの直感から，

$$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=k\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z$$ (8)

とかける．比例定数の$k$は後から調整すればよい．

この式を地道に積分を行う．計算する積分は

$$\boldsymbol{B}=k\int_{-\infty}^\infty\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z$$ (9)

である．ベクトルの積分となっており，通常はやっかいである．しかし，幸いなことに， $\boldsymbol{I}$と $\boldsymbol{r}$はいつも同じ平面内にあり，$z$の位置が変わってもベクトル積の向 きは変化しない．したがって，スカラーの積分を行った後，方向を考えればよい．

$$B =k\int_{-\infty}^\infty\frac{Ir\sin\theta}{r^3}\mathrm{d}z$$

$$=k\int_{-\infty}^\infty\frac{I\sin\theta}{r^2}\mathrm{d}z$$

$$=k\int_{-\infty}^\infty\frac{IR}{r^3}\mathrm{d}z$$

$$=kIR\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}z}{(R^2+z^2)^{3/2}}$$

$$=kIR\left[\frac{z}{R^2\sqrt{R^2+z^2}}\right]_{-\infty}^\infty$$

$$=\frac{2kI}{R}$$ (10)

この結果と式(5)を比べる．先の述べたように方向 は合っている．また，係数$k$を

$$k=\frac{\mu}{4\pi}$$ (11)

とすれば，大きさも合う．したがって，微小領域 $\mathrm{d}z$がつくる微小磁場 $\mathrm{d} \boldsymbol{B}$は

$$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z$$ (12)

と考えても良い．普通，これをビオ-サバールの法則と言う．また， $\boldsymbol{I}\mathrm{d}z$を $\mathrm{d}\boldsymbol{I}$として，

$$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}$$ (13)

と書かれる場合もある．

図 6: 無限直線電流と磁場

3.2 ベクトルポテンシャル

式(12)は，

$$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z\mathrm{d}z\mathrm{d}z$$ (14)

と書き表すことができる．ここで， $\boldsymbol{j}$は電流密度である． $\mathrm{d}I=\mathrm{d}x\mathrm{d} y$をつかっている．

これから，磁場を観測する位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$とした場合の磁場は，

$$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu}{4\pi}\int\frac{\boldsym... ...-\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert^3}\mathrm{d}V^\prime$$ (15)

となる．これが磁場を表す方程式の全てである．これは，

$$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times \left[\frac{\mu}{4\pi... ...dsymbol{r^\prime})}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\mathrm{d}V^\prime\right]$$ (16)

と書き表すことができる．なぜならば， $\boldsymbol{c}$を定ベクトルとした場合，

$$\nabla\times \frac{\boldsymbol{c}}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} =\nabla \frac{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}\times\boldsymbol{c}$$

$$=\nabla \frac{1}{\sqrt{(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2}}\times\boldsymbol{c}$$

$$=-\frac{(x-x^\prime,y-y^\prime,z-z^\prime)} {\left[(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2\right]^{3/2}}\times\boldsymbol{c}$$

$$=\frac{\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert^3}$$ (17)

が成り立つからである．

式(16)は，

$$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\nabla\times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})$$ (18)

と書くことができる．ただし，

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu}{4\pi} \int\frac{\boldsy... ...j}(\boldsymbol{r^\prime})}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\mathrm{d}V^\prime$$ (19)

である．この $\boldsymbol{A}$をベクトルポテンシャルと言う．ちょうど電場のときのスカラーポ テンシャル$\phi$に対応している．

3.3 磁場を表す微分方程式

この式から磁場を表す微分方程式を求める．ベクトル場を表す微分方程式は，発散と回転 である．先の磁場を表す方程式に発散と回転の演算を行えばよい．この辺の話は，文 献 [1]を参考にした．

式(16)から，直ちに，

$$\div{\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})}=0$$ (20)

が求められる．なぜならば，回転の発散は恒等的にゼロとなるからである．

つぎに回転をもとめる．この場合，任意のベクトル場 $\boldsymbol{w}$に関しての恒等式 $\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{w}=\nabla \div{\boldsymbol{w}}-\nabla^2\boldsymbol{w}$を使う．式式 (16)の両辺に回転の演算を施すと，

$$\nabla\times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) =\nabla\times \nabla\times \left[\frac{\mu}{4\pi} \int\frac{\bold... ...dsymbol{r^\prime})}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\mathrm{d}V^\prime\right]$$ (21)

$$=\frac{\mu}{4\pi} \nabla\int\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r^\prime})... ...bla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\right)\mathrm{d}V^\prime$$

ここで，

$$\nabla\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\right) =-\nabla^\prime\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\right) \nabla^2\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol{r-r^\prime}\vert}\right) =-4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$$ (22)

を使う．これらの式については，第5回の講義ノートを見よ．これらを使うと，

$$\nabla\times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) =-\frac{\mu}{4\pi} \nabla\int\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r^\prime}... ...ymbol{r^\prime})\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime) \mathrm{d}V^\prime$$

$$=-\frac{\mu}{4\pi} \nabla\int\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r^\prime}... ...l{r-r^\prime}\vert}\right)\mathrm{d}V^\prime +\mu\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (23)

が得られる．

この式の右辺第一項を計算するために，任意のベクトル場$A$と任意のスカラー場$f$の積 の発散を考える．それは，

$$\div (f\boldsymbol{A})=\nabla f\cdot\boldsymbol{A}+f\div{\boldsymbol{A}}$$ (24)

となる．これを少しばかり変形すると

$$\nabla f\cdot\boldsymbol{A}=\div (f\boldsymbol{A})-f\div{\boldsymbol{A}}$$ (25)

が得られる．式(23)のように微分が含まれる積分を行うときの定石であ る．部分積分である．

式(25)を式(23)に適用すると，

$$\nabla\times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) =\frac{\mu}{4\pi}\left[ \nabla\int\left(\frac{1}{\vert\boldsymbol... ...ime}\vert}\right)}\mathrm{d}V^\prime \right] +\mu\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (26)

となる．このうち，左辺の第一項はゼロとなる．なぜならば，電荷保存則より静電場ではいつでも $\div{\boldsymbol{j}}=0$が成り立つからである．そして，右辺第二項は，ガウスの発散定理を使 うと，

$$\nabla\times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) =-\frac{\mu}{4\pi}\na... ...dsymbol{r-r^\prime}\vert} \mathrm{d}S^\prime +\mu\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (27)

が得られる．右辺第一項の積分は，全空間，すなわち宇宙全体にわたっての面積分である． 宇宙の端には電流が無い，あるいは電流密度が$1/r$よりも早く小さくなると右辺第一項 はゼロになる．自然は，これら二つのうちどちらかを満たしている．なぜならば，ここで 観測している磁場は宇宙の果てからの影響を受けていない．したがって，静磁場の回転は，

$$\nabla\times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\mu\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$$ (28)

となる．電流密度は，磁場の回転(の密度)を作るのである．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志