3 実際の計算方法

3.1 ガウス・ザイデル法

境界条件,境界でのポテンシャルの値を決めることで,方程式と未知数の数が一致するこ とは前に示したとおりである.したがって,連立方程式を解けば,格子点のポテンシャル は分かることになる.しかし,実際問題この方程式を作るのが大変である.未知数のポテ ンシャルは,分かりやすくするために$ U_{i\,j}$と行列で表示したが,実際に連立方程式 を解く場合,未知数はベクトルになる.この式を書くのは大変厄介である.本当に大 変かどうかは,諸君が実際に,係数行列と同次項を求めてみれば分かる.

そこで,次のお手軽な方法で連立方程式を解くことにする.この方法は,連立方程式の係 数行列や同次項を求める必要がなく,プログラムは非常に簡単になる.

  1. 外周の境界上の格子点のポテンシャルの値を$ U_{i\,j}$に代入する.こ の値は,これ以降,ずっと一定とする.
  2. 電極の内部の格子点のポテンシャルの値を$ U_{i\,j}$を代入する.この 値も,これ以降,ずっと一定とする.
  3. 計算すべき内部の格子点のポテンシャルを,


    に従い計算する.
  4. $ U_{i\,j}$が収束するまで,繰り返し,式 (10)を計算する.

実際,この方法で無限の回数ループ処理をすれば,対角優位行列なので真の解に収束する はずである.このように,反復により解に収束させる方法を反復法 と言う.とくに,ここで示した方法をガウス・ザイデル法 という.以前学習したしたように,SOR法 の方が収束が早いが,ここではプログラムが簡単なガウス・ザイデル法で計算するのが良 いであろう.

3.2 内部電極の決め方

ある注目している格子点が,ポテンシャルが固定されている内部電極の内側にあるか否か 判断しなくてはならない.内部にあるとそれは固定点で,先に示したガウス・ザイデル法 で値を変えてはならない.一方,外部だと境界でない限り,ガウス・ザイデル方で収束す るまで,計算を繰り返すことになる.そのようなことから,電極内部にあるか否かは予め 判断する必要がある.その判断は簡単である.格子点と電極中心の距離と電極半径を比べ れば良いのである.

3.3 固定及び境界点の計算を省く方法

固定電極内部の点や外部の境界の格子点では,ガウスザイデル方で計算する必要がない. それを計算しないようにプログラムを書かなくてはならない.境界の計算を省くのは簡単 である.境界の格子点のポテンシャルは, $ i=0, i=N_x, j=0, j=N_y$の場合である.この 場合,ガウス・ザイデル法で式(10)の$ U_{i\,j}$を計算し なければ良いのである.

次に,電極内部の点であるが,これは予め目印を付ければ良い.例えば,整数型の配列を 用意して,その値が1の場合は,電極の内部と目印をしておく.1以外の時,式 (10)の$ U_{i\,j}$を計算する.

以上をまとめると,連立方程式を解く場合には,次のようなループとすれば良いであろう.

	for(k=1; k<=ガウス・ザイデル法の計算回数;k++){
	  for(j=1; j<= x方向の分割数-1 ; j++){
	    for(i=1; i<= y方向の分割数-1 ;i++){
	      if(フラグ[i][j] != 1){
	        u[i][j]=0.25*(u[i][j-1]+u[i][j+1]+u[i-1][j]+u[i+1][j]);
	      }
	    }
	  }
	}

このループを図7に示す.先のループがどのように計算されるか,よ く考えよ.

図 7: 計算する格子点と順序
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/cal_points.eps}



ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成20年1月16日


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