2 台形公式

2.1 台形公式の求め方

定積分,

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)dx$ (3)

の近似値を数値計算で求めることを考える.積分の計算は,先に示したように面積の計算 であるから,図2のように台形の面積の和で近似ができるであ ろう.積分の範囲$ [a,b]$$ N$等分した台形で近似した面積Tは,

\begin{equation*}\begin{aligned}T&=h\frac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\frac{f(a+h)+f(a+2h)...
...{2}\sum_{j=0}^{N-1}\left[f(a+jh)+f(a+(j+1)h)\right] \end{aligned}\end{equation*}

となる.これが数値積分の台形公式である.なんのことはない,積分を台形の面積に置き 換えているだけである.
図 2: 積分と台形の面積の比較
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/trapezoidal.eps}

2.2 台形公式の誤差について

台形公式による数値積分では,分割数$ N$を大きくするとその誤差は小さくなることは直 感で分かる.それでは,分割数を増やしていくとどのように精度が良くなるのか考えてみ よう.

まずは,式(4)のある一つの台形の面積と実際の積分の値を比較する.台 形の面積$ t$は,台形公式より,

$\displaystyle t=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]$ (5)

となる.これを実際の積分

$\displaystyle s=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx$ (6)

と比較することにする.これら2つの式の形がぜんぜん違うので比較できないと考えるだろ う.このような場合の常套手段がある.ちょっとした違いについて論じる時には,テーラー 展開を使う.式(5)を$ x_1$の周りで,テイラー展開すると

\begin{equation*}\begin{aligned}t&=\frac{h}{2}[f(x_1)+f(x_1+h)]\\ &=\frac{h}{2}\...
...c{f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{2\times3!}h^4+\cdots \end{aligned}\end{equation*}

となる.これが台形の面積のテイラー展開である.一方,積分の 式(6)もテイラー展開する.これは,

\begin{equation*}\begin{aligned}s&=\int_{x_1}^{x_1+h}f(x)dx \\ &\qquad\qquad\tex...
...f^{\prime\prime\prime}(x_1)}{4\times 3!}h^4 +\cdots \end{aligned}\end{equation*}

となる.この2つの式(7)と ( 8)が台形での近似と まっとうに積分を行ったときのテイラー展 開を表す.これらの式を比べると,刻み巾$ h$の2 次まで一致している.これは,直感的 には次のように考えることができる. これまでの結果から,台形式の積分の誤差は$ h$の3次よりも高次が問題となり,

\begin{equation*}\begin{aligned}\vert s-t\vert&=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{2\t...
...h^4)\\ &=\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}h^3+O(h^4) \end{aligned}\end{equation*}

と表せる.即ち,積分を台形で近似したひとつの区間の誤差は,刻み幅の$ h^3$で効いて くるのである.従って,積分のトータルの誤差は,それを区間の個数$ N$を乗じた

\begin{equation*}\begin{aligned}\vert S-T\vert&=N\vert s-t\vert\\ &=N\frac{f^{\p...
...\frac{f^{\prime\prime}(x_1)}{12}\frac{(b-a)^3}{N^2} \end{aligned}\end{equation*}

となる.積分の誤差は$ N^{-2}$に比例する.分割数を10倍にすれば,積分の誤差は1/100になるわけである.
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年12月20日


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