2 CR直列回路

2.1 回路の理論

ここでは,常微分方程式の数値計算の練習問題として,図1に示す CR直列回路に流れる電流を求める.回路の問題なので,キルヒホッフの法則--回路の電 圧を一周に渡って積分するとゼロ--を使うのがセオリーで,それは

$\displaystyle \frac{Q}{C}+IR-V_0\sin(\omega t)=0$ (1)

となる.電荷$ Q$と電流の流れる方向は,図の通りである.このようにすると電流と電荷 の関係は,

$\displaystyle \if 11 \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \else \frac{\mathrm{d}^{1} Q}{\mathrm{d}t^{1}}\fi =I$ (2)

となる.$ Q$の定義を逆にすると,電荷と電流の関係に負号が付くことを忘れてはならな い.そして,式(1)も負号が付く.この辺はなかなか分かり難いが,良 く勉強しなくてはならない.今は回路の授業でないので詳細は述べないが,おもしろい内 容が含まれる.

式(1)を時間で微分して,電流と電荷の関係を用いると,

  $\displaystyle \frac{I}{C}+R \if 11 \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \else \frac{\mathrm{d}^{1} I}{\mathrm{d}t^{1}}\fi -\omega V_0\cos(\omega t)=0$   $\displaystyle I(0)=0$   (3)

という微分方程式が得られる.時刻が$ t=0$の時,電流がゼロという初期条件を課してい る.幸いなことに,この微分方程式には厳密解があり,それは

$\displaystyle I(t)=\frac{V_0\omega C\left[ \cos(\omega t)+R\omega C\sin(\omega t)-e^{-\frac{t}{CR}} \right]}{1+(R\omega C)^2}$ (4)

となる.ちょっとだけ面倒な式になっているが,気にすることはない.諸君は,複素関数 を使って, $ t\rightarrow\infty$のときの状態--定常状態--を別な方法で解くことがで きるであろう.それができれば十分である.ただ,過渡状態を見たい場合は,このように ちゃんと微分方程式を計算しなくてはならない.この微分方程式はたまたま解析解があっ たが,普通はこんなに都合はよくない.そういうときには,数値計算を使う必要がある.

今回の回路の問題では厳密解はあるが,練習を兼ねて数値計算で微分方程式を解いてみよ う.

図 1: CR回路
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/RC_circuit.eps}

2.2 数値計算

回路に流れる電流を時刻 $ 0\leqq t\leqq 1$の間,オイラー法とホイン法(2次のルンゲクッ タ法),4次のルンゲクッタ法で計算せよ.時刻と電流の値は,次のようにテキストファイ ルに書き出すこと.第1列:時刻,第2列:厳密解,第3列:オイラー法,第4列:ホイン法,第 5列:4次のルンゲ・クッタ法.
0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00
1.000000e-04	1.985456e-04	3.141593e-04	1.570021e-04	1.963076e-04
2.000000e-04	2.713744e-04	3.140042e-04	2.352707e-04	2.697098e-04
3.000000e-04	2.977589e-04	3.135393e-04	2.740179e-04	2.968290e-04
4.000000e-04	3.068621e-04	3.127650e-04	2.928500e-04	3.063989e-04
5.000000e-04	3.094132e-04	3.116820e-04	3.015707e-04	3.091954e-04
6.000000e-04	3.093600e-04	3.102914e-04	3.050827e-04	3.092600e-04
7.000000e-04	3.081557e-04	3.085946e-04	3.058380e-04	3.081095e-04

                     長いので,この辺は省略

9.995000e-01	3.084431e-04	3.085946e-04	3.082924e-04	3.084380e-04
9.996000e-01	3.101389e-04	3.102914e-04	3.099872e-04	3.101339e-04
9.997000e-01	3.115287e-04	3.116820e-04	3.113761e-04	3.115236e-04
9.998000e-01	3.126111e-04	3.127650e-04	3.124577e-04	3.126060e-04
9.999000e-01	3.133849e-04	3.135393e-04	3.132310e-04	3.133798e-04
1.000000e+00	3.138495e-04	3.140042e-04	3.136951e-04	3.138444e-04

さらに,厳密解との差--誤差--の絶対値のファイルも作成すること.第1列:時刻,第2列:オイラー 法の誤差,第3列:ホイン法の誤差,第4列:4次のルンゲ・クッタ法の誤差.$ C$$ R$の値 をいろいろ計算してみよう.計算誤差がどのようになるか調べてみよう.

1.000000e-04	1.156137e-04	4.154344e-05	2.238011e-06
2.000000e-04	4.262985e-05	3.610366e-05	1.664613e-06
3.000000e-04	1.578046e-05	2.374101e-05	9.298990e-07
4.000000e-04	5.902889e-06	1.401218e-05	4.631933e-07
5.000000e-04	2.268803e-06	7.842526e-06	2.178372e-07
6.000000e-04	9.314720e-07	4.277303e-06	9.994238e-08
7.000000e-04	4.389742e-07	2.317686e-06	4.619756e-08

                     長いので,この辺は省略

9.992000e-01	1.478607e-07	1.467147e-07	4.904329e-09
9.993000e-01	1.492431e-07	1.481930e-07	4.952495e-09
9.994000e-01	1.504783e-07	1.495250e-07	4.995773e-09
9.995000e-01	1.515650e-07	1.507095e-07	5.034120e-09
9.996000e-01	1.525021e-07	1.517453e-07	5.067500e-09
9.997000e-01	1.532887e-07	1.526313e-07	5.095879e-09
9.998000e-01	1.539240e-07	1.533666e-07	5.119229e-09
9.999000e-01	1.544074e-07	1.539507e-07	5.137526e-09
1.000000e+00	1.547384e-07	1.543828e-07	5.150754e-09



ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年10月18日


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