4 ベクトル場の発散と積分

4.1 発散とは

この場合は,2次元で考えるのはやっかいなので3次元で考えることにする.3次元の閉じ た空間内での熱の流れを考える.単位面積,単位時間あたりの熱の流れ [ $ \mathrm{Jule/(m^2sec})$]はベクトル場である.これを $ \boldsymbol{A}$で表すことにする.ここ では,この空間から出入りする熱量の総和を考える.この閉じた空間の表面の微少面積 $ \mathrm{d}
S$から出ていく熱量 $ \mathrm{d}Q$は,

$\displaystyle \mathrm{d}Q=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (15)

である.ここで, $ \boldsymbol{n}$は図5この微少面積の法線方向の単位ベクト ルである.この熱の流れのベクトルと面積の内積を熱流束(一般にはフラックス)と言う. この式から,空間から出入りするトータルの熱量は,

$\displaystyle Q=\int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (16)

となる.
図 5: 熱の流出を考える空間とその表面
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/gauss_V.eps}

次に,先ほどの空間を図6のように$ V_1$$ V_2$の2つの部分に分割した 場合を考える.この場合,閉じた空間からの熱量の出入りの総和は,それぞれの部分の熱 流速を足しあわせれば良い.すなわち

$\displaystyle Q=\int_{V_1}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S+\int_{V_2}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (17)

である.先ほどの式(16)と同じになる理由は,以下のことから分かる.

先ほどは2つに分割したが,この分割方法は任意で2つ以上に分割しても良いことは明らか である.図7のようにに$ N$個に分割した場合は,

$\displaystyle Q=\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (18)

である.これを非常に大きな数で分割して,$ V_i\to 0$の極限を考える.すると,

$\displaystyle Q$ $\displaystyle =\sum_i \int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$    
  $\displaystyle =\sum_i\left[\cfrac{\int_{\Delta V_i}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V_i}\right]\Delta V_i$    
  $\displaystyle =\int_V\left[\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}\right]\mathrm{d}V$ (19)

である.ここで,

$\displaystyle \div{\boldsymbol{A}}=\lim_{\Delta V\to 0}\cfrac{\int_{\Delta V}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{\Delta V}$ (20)

とする.先週示した $ \div{\boldsymbol{A}}$という微分がいきなり現れているが,この右辺と等し いことは後で示す.式(20)の右辺が発散と呼ばれるスカラー量で,ベクトル場の 微分を表す.これが微分になっていることの感触は,式(1)から汲み取ってほしい.

この発散を用いると,トータルの熱量は,

$\displaystyle Q=\int_V \div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V$ (21)

となる.式(16)と比べると,

$\displaystyle \int_V\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V \div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V$ (22)

である.これをガウスの発散定理といい,熱にこだわらずどんなベクトル場についても成 り立つ.この定理は,「微分の体積積分は表面での面積分に置き換えることができる」と 言っている.式(2)のように,微分したものの積分の値は端--ここで は表面--で決まるのである.

ここで考えた熱流速の場合,発散 $ \div{\boldsymbol{A}}$は単位体積あたりの熱の出入りを表している. これは,その微少体積で熱が発生量を表している.そのため,発散とは言わずにこの微分 を「湧き出し」と呼ぶ人もいる.

図 6: 2分割
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/div_V2.eps}
図 7: 微小な区間に分割
\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/div_N.eps}

4.2 カーテシアン座標系での発散

発散は式(20)で定義されるベクトル場の微分である.実際の微分につい て,カーテシアン座標系で考える.ベクトル場 $ \boldsymbol{A}$があったとする.それは座標の関 数で, $ \boldsymbol{A}(x,\,y,\,z)$と書けるであろう.図8に示したような微 少な空間でのそのフラックス$ F$を考える.まずは, $ \mathrm{xy}$平面である.これは,$ z$ $ z+\Delta z$の面のフラックスを足しあわせれば良い.

$\displaystyle F_z$ $\displaystyle = F\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta z\right)+ F\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)$    
  $\displaystyle = \boldsymbol{A}\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2}...
...a x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right)\cdot \boldsymbol{n}_0\Delta x\Delta y$    
      $ \boldsymbol{n}_1=(0,0,1)$, $ \boldsymbol{n}_0=(0,0,-1)$なので    
  $\displaystyle = A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+\Delta...
..._z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \Delta x\Delta y$    
  $\displaystyle =\left[ A_z\left(x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z+...
...x+\frac{\Delta x}{2},\,y+\frac{\Delta y}{2},\,z\right) \right]\Delta x \Delta y$    
     $ (x,y,z)$の周りで,テイラー展開すると    
  $\displaystyle =\left[\left( A_z+ \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial x} \else \...
...{1} A_z}{\partial y^{1}}\fi \frac{\Delta y}{2} \right) \right]\Delta x \Delta y$    
  $\displaystyle = \if 11 \frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$ (23)

$ \mathrm{yz}$, $ \mathrm{zx}$平面も同様にして,

  $\displaystyle F_x= \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1} A_x}{\partial x^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$   $\displaystyle F_y= \if 11 \frac{\partial A_y}{\partial y} \else \frac{\partial^{1} A_y}{\partial y^{1}}\fi \Delta x \Delta y \Delta z$   (24)

となる.

これから発散は,

$\displaystyle \div\boldsymbol{A}$ $\displaystyle =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part...
...i \right)\Delta x \Delta y \Delta z} {\Delta x \Delta y \Delta z}\boldsymbol{A}$ $\displaystyle =\lim_{V \to 0}\frac{\int \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S}{V}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \to 0}\frac{F_x+F_y+F_z}{\Delta x \Delta y \Delta z}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \to 0}\frac{\left( \if 11 \frac{\partial A_x}{\part...
...e \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi \right)\Delta x \Delta y \Delta z}$    
  $\displaystyle = \if 11 \frac{\partial A_x}{\partial x} \else \frac{\partial^{1}...
...frac{\partial A_z}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} A_z}{\partial z^{1}}\fi$ (25)

となる.

これは,先週示した式と同じである.また,円柱座標系や極座標系については, 私のweb ページ ページを見よ.

図 8: 発散を考える座標系
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/dx_dy_dz.eps}

4.3 発散を計る

数式がごちゃごちゃ並んだので,発散の意味がぼやけてきたと思う.熱の流れがある場で, その発散を計る機械を考えよう.図9のような機械で発散が計れる. 正方形の熱の流れを測定するセンサーを6つ組み合わせて,立方体内部でのねつの収支を 計る.熱の収支の合計を立方体の体積で割ることにより,立方体内部での平均の発散が分 かる.
図 9: 熱の発散を計る機械.熱流系で構成する立方体の実際のサイズは,小さいと する.
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/div_meter.eps}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年10月10日


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