3 ソースのある波動方程式の解

この辺の議論は，文献 [1]を参考にしている．というかほとん ど同じ．この教科書は上級者向きであるが分かりやすい．文献  [2]物理的なイメージを大事にして分かり易く説明している．

以前の講義では，自由空間の波動方程式の解--ダランベールの解--を示した．それで， 分かったことは波が伝播することであった．この式だけでは，波の原因が分からない．一 般に，波の原因となるソース(源)を含んだ式は，

$$\nabla^2f-\frac{1}{c^2} \if 12 \frac{\partial f}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}\fi =-s$$ (14)

のように記述される．この解をグリーン関数を使って，

$$f(\boldsymbol{r},t)=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}V^\prime\int_... ...oldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)s(\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)$$ (15)

計算する．式(10)より，グリーン関数が満たすべき微分 方程式は，

$$\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2} \if 12 \frac{\partial }{\partial t} ... ...rime,t^\prime)= -\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)\delta(t-t^\prime)$$ (16)

となる．この式のイメージを図3に示す．

図 3: ソースがある場合のグリーン関数のイメージ．式 (16)を表しており，波は速度$c$で広がる．

これをいきなり解くのはのは大変である．時刻の微分がある場合の常套手段は，周波数領 域で計算することである．時刻を種は数に直すためにはフーリェ積分(変換)を使う．

$$v(\omega)=\int_{-\infty}^\infty u(t)e^{i\omega t}\mathrm{d}t フーリェ積分$$ (17)

$$u(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty v(\omega)e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega 逆フーリェ積分$$ (18)

時刻$t$について，グリーン関数とデルタ関数をフーリェ積分で表せば，時間微分の項を 取り除くことができる．まずグリーン関数であるが，

$$G(\boldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega$$ (19)

となる．デルタ関数の方はちょっと面倒であるが，

$$\delta(t-t^\prime) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty... ...lta(t-t^\prime)e^{i\omega t}\mathrm{d}t\, \right)e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t^\prime}e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega$$ (20)

のようにする．これはフーリェ級数を学習した時のおなじみの式である．これら，フーリェ積 分で表現されたグリーン関数とデルタ関数を元の式(16)に代 入すると

$$\int_{-\infty}^\infty \left(\nabla^2-\frac{\omega^2}{c^2}\right) ... ...\prime)\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t^\prime}e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega$$ (21)

が得られる．これが成り立つためには，$\omega$各周波数成分にたいして，

$$\left(\nabla^2-k^2\right) G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^... ...me,t^\prime)= -\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)e^{i\omega t^\prime}$$ (22)

の条件が必要である．これを解き易くするために

$$\left(\nabla^2-k^2\right) G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^... ...e,t^\prime)e^{-i\omega t^\prime}= -\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$$ (23)

と書き直す．つぎに，式(11)にしめしたようにグリーン関数は 同次微分方程式

$$\left(\nabla^2-k^2\right) G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)e^{-i\omega t^\prime}=0$$ (24)

を満たさなくてはならない．ここで，式を簡約するために， $G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)e^{-i\omega t^\prime}$を$g$とおく．する と，

$$\left(\nabla^2-k^2\right)g=0$$ (25)

となり，やっと解けるような気がする式になった．

対称性を考えると$g$は$r^\prime$を中心とした球対称な関数で，距離のみの関数はずである．そこで， $\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert$を$R$とおいて，球座標系のラプラシアンを導入すると

$$\frac{1}{R} \if 12 \frac{\partial }{\partial R} \else \frac{\partial^{2} }{\partial R^{2}}\fi (Rg)-k^2g=0$$ (26)

となる．この微分方程式の一般解は，

$$Rg=Ae^{ikR}+Be^{-ikR}$$ (27)

となる．したがって，

$$G(\boldsymbol{r},\omega;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)= \frac{Ae... ...bol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}} {\vert r-r^\prime}e^{i\omega t^\prime\vert}$$ (28)

となる．積分定数の$A$と$B$は後から決める．逆フーリェ積分を使って，周波数領域から 時間領域に直す．

$$G(\boldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime)=\frac{1}{2\pi}... ...ert}} {\vert r-r^\prime\vert}e^{-i\omega t^\prime}e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$ (29)

ここで，係数$A$と$B$に関する2つの波がある．$A$の方はソースから外に拡散する波で， $B$の方は外からソースに向かう波である．2つとも波動方程式の解となりうるが，ここで 問題としているのはソースから拡散する波である．そこで，$B=0$とおく．すると，

$$G(\boldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{Ae^{ik\vert\boldsymbol... ...rt}}{\vert r-r^\prime\vert} e^{-i\omega t^\prime}e^{-i\omega t}\mathrm{d}\omega$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{Ae^{i\frac{\omega}{c}\... ...r}^\prime\vert}}{\vert r-r^\prime\vert} e^{i\omega(t^\prime-t)}\mathrm{d}\omega$$ (30)

となる．式(20)の示すところによると，この式の右辺は$\delta$関 数になっている．したがって，

$$G(\boldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime) = \frac{A\delta\left(t^\prime-t+\frac{\vert\boldsymbol{r}-\boldsy... ...r}^\prime\vert}{c}\right)} {2\pi\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}$$ (31)

となる．積分定数$A$は，式12が成り立つようにきめる．した がって，

$$G(\boldsymbol{r},t;\boldsymbol{r}^\prime,t^\prime) = \frac{\delta\left(t^\prime-t+\frac{\vert\boldsymbol{r}-\boldsym... ...r}^\prime\vert}{c}\right)} {4\pi\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert}$$ (32)

となる．

計算は結構複雑で，わかり難かったと思う．私もわかり難い．straght fowardの計算となっ ていない．もう少し簡単な方法を考えなくてはならない．計算過程は複雑であったが，そ の結果は直感的に分かる．直感的に導くこともできるであろう．この式の言っていること は，次のとおりである．

• 波の振幅は，距離に反比例する．よく知られているように波のエネルギーは振幅 の2乗に比例する．そして3次元の波は距離2乗に比例して表面積が大きくなる．したがっ て，エネルギーが保存するためには波の振幅は距離に比例しなくてはならない．当たり 前の結果が得られている．
• $\delta$関数の部分が言っていることは，波の速度は$c$で伝わる--ということで ある．観測点で波を観測する時刻$t$を求めてみよ($\delta$関数の独立変数がゼロとな るとき)．

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著者: 山本昌志