3 エネルギー保存則

力学のエネルギー保存則はよく知られている.また,これまでの自然科学の学習の経験か らエネルギー保存則はどのような場合でも成立することは分かっていると思う.ここでは, 力学と電磁気学を含めた系でもそれが成立することを示す.

エネルギー保存則については,完全に教科書に沿って説明しよう.電磁場中での運動方程 式も教科書に沿って

$\displaystyle m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$ (10)

とする.相対論的補正は加味されていないが,それを入れても同じ結果が得られる.

電磁場中に2つの電荷があったとする.それぞれの電荷量を$ q_1$$ q_2$,質量を$ m_1$$ m_2$とする.それぞれの運動方程式は,

  $\displaystyle m_1\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v_1}}{\mathrm{d}t}=q_1\boldsymbol{E}+q_1\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}}$ (11)
  $\displaystyle m_2\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v_2}}{\mathrm{d}t}=q_2\boldsymbol{E}+q_2\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}}$ (12)

となる.このての方程式を積分するときは,両辺に $ \boldsymbol{v}$の内積を乗じるのが常套手段 である.そうすると,

$\displaystyle m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\boldsymbol{v}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}mv^2\right]$ (13)

となる.本当にそうなるかは, $ v^2=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}$に注意して,右辺を微分してみれ ば分かる.したがって,先の運動方程式は

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}m_1v_1^2\right]$ $\displaystyle =q_1\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{E}+q_1\boldsymbol{v_1}\cdot(\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}})$    
  $\displaystyle =q_1\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{E}$ (14)
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}m_2v_2^2\right]$ $\displaystyle =q_2\boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{E}+q_2\boldsymbol{v}_2\cdot(\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}})$    
  $\displaystyle =q_2\boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{E}$ (15)

となる.ここでは, $ \boldsymbol{v}$ $ \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$は直交することを利用した.この式 は,磁場 $ \boldsymbol{B}$は電荷にエネルギーを与えることが出来ないと言っている.左辺の括弧 内は運動エネルギー$ T$を表している.両辺を積分すると, $ dT=q\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$となり,運動エネルギーの変化は電場と変位の内積となる. 運動エネルギーに磁場は全く寄与しないのである.それならば,発電機はどうなっている のか?と言う疑問が湧くであろう.これについては,前回の授業で述べたはずである.こ こでは,運動エネルギーについてのみ述べたが,ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー) を含めても同じことが言える.

系全体の運動エネルギーの変化と電磁場の関係が見るために,先ほどの2つの運動方程式 を足しあわせよう.この操作をするときに,荷電粒子は大きさを持つものとし,その電荷 密度を$ \rho$とする.したがって,電流密度は $ \boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}$となるので,これを 考慮すると,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}...
...right] =\int_V(\boldsymbol{j}_1+\boldsymbol{j}_2)\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}V$ (16)

となる.当然,積分領域は考えている系全体である.

次に,マクスウェルの方程式の式(4)を使う.すると,

$\displaystyle \boldsymbol{j}_1+\boldsymbol{j}_2=\nabla\times \boldsymbol{H}- \i...
...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$ (17)

となる.教科書には,この式の右辺は2粒子の作る場と書いてあるが,それは場の一部に すぎない.この式は,右辺のように電磁場を微分するとそれは電流密度 になると言っているだけである.その電磁場は当然,2粒子が作るものも含まれるが,ほ かの理由により存在する電磁場も含む.この式を使うと,2粒子の運動エネルギーに関す る式は

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}...
...al^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}V$ (18)

となる.この式の左辺は運動エネルギーに,いっぽう右辺は電磁場に関するものである. だんだんと,力学的なエネルギーと電磁場のエネルギーの関係に近づいたことが実感出来 るであろう.

さて,

$\displaystyle \div{\left(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)} =\boldsymbo...
...\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}-\boldsymbol{E}\cdot\nabla\times \boldsymbol{H}$ (19)

のようなベクトル恒等式がある4.これを用いると,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\right]$ $\displaystyle =\int_V\left[\boldsymbol{H}\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}-\div{...
...al^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \cdot\boldsymbol{E}\right]\mathrm{d}V$    
  $\displaystyle =\int_V\left[\boldsymbol{H}\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}- \if ...
...\right]\mathrm{d}V -\int_V\div{(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})}\mathrm{d}V$    
  $\displaystyle =\int_V\left[-\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \boldsymb...
...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$    
  $\displaystyle =-\int_V\left[\mu\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \bolds...
...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$    
  $\displaystyle =-\int_V\left[ \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\p...
...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$    
  $\displaystyle =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V\left[ \frac{1}{2}\boldsymb...
...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ (20)

となる.左辺は粒子の運動エネルギーの変化を表している.右辺第一項は電磁場のエネル ギーの変化である.第二項は,エネルギーの流れを表している.この辺の事情については 後で述べることにする.この式は,

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}...
...t] +\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =0$ (21)

と書き改めることができる.それぞれの項は,

  $\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$   粒子の運動エネルギー $ \mathrm{[Jule]}$    
  $\displaystyle \frac{1}{2}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H}$   磁場のエネルギー密度 $ \mathrm{[Jule/m^3]}$    
  $\displaystyle \frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}$   電場のエネルギー密度[ $ \mathrm{Jule/m^3]}$    
  $\displaystyle \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$   単位面積あたりのエネルギーの流れ $ \mathrm{[Watt/m^2]}$      

を意味している.運動エネルギーについては,力学で学習したとおりである.電磁場のエ ネルギーに関しては静電場での話と同じである.最後の項のみここで追加されたことにな る.エネルギー保存則を満足させるためには,最後の項はエネルギーの流れ $ \mathrm{[Watt/m^2]}$ となる必要がある. $ \boldsymbol{E}$ $ \boldsymbol{H}$の単位から考えるとエネ ルギー密度の流れになっている.本当にエネルギーの流れになっているかは, 実験で確かめる必要がある.いろいろな実験の結果,この式がエネルギーの流れを表して いることが確かめられているのである.このエネルギーの流れのベクトル

$\displaystyle \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$ (22)

は,発見者の名から,ポインティングベクトルと呼ばれている.

これらのエネルギーの関係は,図1のように表すこと ができる.

図 1: 電磁場と力学のエネルギーの関係
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/energy.eps}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年7月13日


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