2 簡単な回路の問題

2.1 CR直列回路

ここでは，常微分方程式の数値計算の練習問題として，図1に示す CR直列回路に流れる電流を求める．回路の問題なので，キルヒホッフの法則--回路の電 圧を一周に渡って積分するとゼロ--を使うのがセオリーで，それは

$$\frac{Q}{C}+IR-V_0\sin(\omega t)=0$$ (1)

となる．電荷$Q$と電流の流れる方向は，図の通りである．このようにすると電流と電荷 の関係は，

$$\if 11 \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \else \frac{\mathrm{d}^{1} Q}{\mathrm{d}t^{1}}\fi =I$$ (2)

となる．$Q$の定義を逆にすると，電荷と電流の関係に負号が付くことを忘れてはならな い．そして，式(1)も負号が付く．この辺はなかなか分かり難いが，良 く勉強しなくてはならない．今は回路の授業でないので詳細は述べないが，おもしろい内 容が含まれる．

式(1)を時間で微分して，電流と電荷の関係を用いると，

$$\frac{I}{C}+R \if 11 \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \else \frac{\mathrm{d}^{1} I}{\mathrm{d}t^{1}}\fi -\omega V_0\cos(\omega t)=0 I(0)=0$$ (3)

という微分方程式が得られる．時刻が$t=0$の時，電流がゼロという初期条件を課してい る．幸いなことに，この微分方程式には厳密解があり，それは

$$I(t)=\frac{V_0\omega C\left[ \cos(\omega t)+R\omega C\sin(\omega t)-e^{-\frac{t}{CR}} \right]}{1+(R\omega C)^2}$$ (4)

となる．ちょっとだけ面倒な式になっているが，気にすることはない．諸君は，複素関数 を使って， $t\rightarrow\infty$のときの状態--定常状態--を別な方法で解くことがで きるであろう．それができれば十分である．ただ，過渡状態を見たい場合は，このように ちゃんと微分方程式を計算しなくてはならない．この微分方程式はたまたま解析解があっ たが，普通はこんなに都合はよくない．そういうときには，数値計算を使う必要がある．

今回の回路の問題では厳密解はあるが，練習を兼ねて数値計算で微分方程式を解いてみよ う．

図 1: CR回路

2.2 数値計算

回路に流れる電流を時刻 $0\leqq t\leqq 1$の間，オイラー法とホイン法(2次のルンゲクッ タ法)，4次のルンゲクッタ法で計算せよ．時刻と電流の値は，次のようにテキストファイ ルに書き出すこと．第1列:時刻，第2列:厳密解，第3列:オイラー法，第4列:ホイン法，第 5列:4次のルンゲ・クッタ法．

0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00	0.000000e+00
1.000000e-04	1.985456e-04	3.141593e-04	1.570021e-04	1.963076e-04
2.000000e-04	2.713744e-04	3.140042e-04	2.352707e-04	2.697098e-04
3.000000e-04	2.977589e-04	3.135393e-04	2.740179e-04	2.968290e-04
4.000000e-04	3.068621e-04	3.127650e-04	2.928500e-04	3.063989e-04
5.000000e-04	3.094132e-04	3.116820e-04	3.015707e-04	3.091954e-04
6.000000e-04	3.093600e-04	3.102914e-04	3.050827e-04	3.092600e-04
7.000000e-04	3.081557e-04	3.085946e-04	3.058380e-04	3.081095e-04

                     長いので，この辺は省略

9.995000e-01	3.084431e-04	3.085946e-04	3.082924e-04	3.084380e-04
9.996000e-01	3.101389e-04	3.102914e-04	3.099872e-04	3.101339e-04
9.997000e-01	3.115287e-04	3.116820e-04	3.113761e-04	3.115236e-04
9.998000e-01	3.126111e-04	3.127650e-04	3.124577e-04	3.126060e-04
9.999000e-01	3.133849e-04	3.135393e-04	3.132310e-04	3.133798e-04
1.000000e+00	3.138495e-04	3.140042e-04	3.136951e-04	3.138444e-04

さらに，厳密解との差--誤差--の絶対値のファイルも作成すること．第1列:時刻，第2列:オイラー 法の誤差，第3列:ホイン法の誤差，第4列:4次のルンゲ・クッタ法の誤差．$C$と$R$の値 をいろいろ計算してみよう．計算後さがどのようになるか調べてみよう．

1.000000e-04	1.156137e-04	4.154344e-05	2.238011e-06
2.000000e-04	4.262985e-05	3.610366e-05	1.664613e-06
3.000000e-04	1.578046e-05	2.374101e-05	9.298990e-07
4.000000e-04	5.902889e-06	1.401218e-05	4.631933e-07
5.000000e-04	2.268803e-06	7.842526e-06	2.178372e-07
6.000000e-04	9.314720e-07	4.277303e-06	9.994238e-08
7.000000e-04	4.389742e-07	2.317686e-06	4.619756e-08

                     長いので，この辺は省略

9.992000e-01	1.478607e-07	1.467147e-07	4.904329e-09
9.993000e-01	1.492431e-07	1.481930e-07	4.952495e-09
9.994000e-01	1.504783e-07	1.495250e-07	4.995773e-09
9.995000e-01	1.515650e-07	1.507095e-07	5.034120e-09
9.996000e-01	1.525021e-07	1.517453e-07	5.067500e-09
9.997000e-01	1.532887e-07	1.526313e-07	5.095879e-09
9.998000e-01	1.539240e-07	1.533666e-07	5.119229e-09
9.999000e-01	1.544074e-07	1.539507e-07	5.137526e-09
1.000000e+00	1.547384e-07	1.543828e-07	5.150754e-09

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志