3 複素数と複素関数

3.1 複素関数を使った例

以前のC言語は複素数がサポートされていなかった．数値計算をする場合，複素数が使えないとかなり不便を強いられる．そのため，複素数が使える FORTRAN から抜け出せない人が多くいた．新しいC言語では，複素数がサポートされている．これは非常にありがたい．

実際に複素数や複素関数を使った例をリスト2に示す．これは，オイラーが発見した式

$\displaystyle e^{i\pi}=-1$

(1)

の計算結果である．この式はとても不思議で，25年くらい前にはじめてみたときには大変驚いた記憶がある．それまではなんの関係もないと思っていた円周率 $\pi$ とネピア数

と虚数単位

が，こんなにも簡単な式で結ばれるのでる．

   1 #include <stdio.h>
   2 #include <complex.h>
   3 #include <math.h>
   4 
   5 int main(void){
   6   double _Complex z, x;
   7 
   8   x=I*M_PI;
   9   z=cexp(x);
  10 
  11   printf("real=%f\timag=%f\n", creal(z),cimag(z));
  12 
  13   return 0;
  14 }

$\fbox{実行結果}$

real=-1.000000  imag=0.000000

このプログラムの各行の内容は，次の通りである．

2行目 #include <complex.h>

複素数おほび複素関数を使うために，ヘッダーファイルcomplex.hをインクルードしている．複素数を使う場合，必ず必要である．
6行目 double _Complex z, x;

倍精度複素数型の変数の宣言である．複素数型の変数zとxが使えるようになる．
8行目 x=I*M_PI;

先に述べたように，M_PIは円周率を表すマクロである．Iは虚数単位である．したがって，C言語のI*M_PIは，数学の $i\pi$ を表す．
9行目 z=cexp(x);
cexp(x)は，数学のを表す．ただし，変数も関数の値も複素数となる．
11行目 creal(z),cimag(z)
creal(z)で複素数zの実数部を，cimag(z)で虚数部を取り出している．

3.2 複素関数の使い方

3.2.1 記述方法

3.2.1.1 ヘッダーファイル

ヘッダーファイルcomplex.hをインクルードする必要がある．プログラムの前の方に，

	#include <complex.h>

と書く．

3.2.1.2 変数宣言

複素数の計算では，複素数型の変数宣言が必要である．変数宣言の例を，以下に示す．

	float _Complex a, b, hoge;
	double _Complex c, d. fuga;
	long double _Complex e, f, foo;

のようにする．通常は，double _Complexを使うこと．C言語で実数を扱う場合は double，複素数を扱う場合はdouble _Complexとするのが無難である．

3.2.1.3 複素数

虚数単位はIである．数学は小文字を使うが，C言語では大文字である．複素数型の変数に値を代入するためには，次のようにする．

	z=x+I*y;
	w=3.1415+I*2.718281828;

3.2.1.4 四則演算

四則演算は特に気にすることもなく，普通に演算子(+,-,*,/)が使える．

3.2.1.5 複素関数

表3のような関数が用意されている．よほどのことがない限り，倍精度型を使うこと．

**表 3:** `complex.h`で定義されている関数．関数の引数と戻り値は同じ型である．引数が倍精度複素数であれば，戻り値は倍精度複素数または倍精度実数である．
数学関数名	倍精度	単精度	拡張倍精度	戻り値
三角関数	`csin(x)`	`csinf(x)`	`csinl(x)`	複素数
	`ccos(x)`	`ccosf(x)`	`ccosl(x)`	複素数
	`ctan(x)`	`ctanf(x)`	`ctanl(x)`	複素数
逆三角関数	`casin(x)`	`casinf(x)`	`casinl(x)`	複素数
	`cacos(x)`	`cacosf(x)`	`cacosl(x)`	複素数
	`catan(x)`	`catanf(x)`	`catanl(x)`	複素数
双曲線関数	`csinh(x)`	`csinhf(x)`	`csinhl(x)`	複素数
	`ccosh(x)`	`ccoshf(x)`	`ccoshl(x)`	複素数
	`ctanh(x)`	`ctanhf(x)`	`ctanhl(x)`	複素数
逆双曲線関数	`casinh(x)`	`casinhf(x)`	`casinhl(x)`	複素数
	`cacosh(x)`	`cacoshf(x)`	`cacoshl(x)`	複素数
	`catanh(x)`	`catanhf(x)`	`catanhl(x)`	複素数
指数関数	`cexp(x)`	`cexpf(x)`	`cexpl(x)`	複素数
自然対数	`clog(x)`	`clogf(x)`	`clogl(x)`	複素数
絶対値	`cabs(x)`	`cabsf(x)`	`cabsl(x)`	実数
平方根	`csqrt(x)`	`csqrtf(x)`	`csqrtl(x)`	複素数
べき乗	`cpow(x,y)`	`cpowf(x,y)`	`cpowl(x,y)`	複素数()
実部	`creal(x)`	`crealf(x)`	`creall(x)`	実数
虚部	`cimag(x)`	`cimagf(x)`	`cimagl(x)`	実数
偏角	`carg(x)`	`cargf(x)`	`cargl(x)`	実数
複素共役	`conj(x)`	`conjf(x)`	`conjl(x)`	複素数
リーマン球の射影	`cproj(x)`	`cprojf(x)`	`cprojl(x)`	複素数