3 配列と文字列(教科書の4章)

3.1 配列とは

2節で示した変数⁶の場合，一度に確保できるメモリーの領域は1個なので，大量のデータを扱うのは不向きである． 100万個のデータを扱う単純型の変数は不可能である．100万個の変数名を用意するのはナンセンス．そこで，順序づけられた同じ型のデータが複数ある場合，配列というデータ構造が考えられた．

これは，同じ型のデータを任意の個数宣言し，配列名と自然数 ⁷でアクセスすることができるようにしたものである．配列を使うためには，

	int i[10], j[100][100];

のように宣言をする．こうすると，

配列名iの整数型のデータ領域が10個用意される．用意されるデータ領域は，i[0]～i[9]である．
配列名jの整数型のデータ領域が10000個用意される．用意されるデータ領域は，j[0][0]～j[99][99]である．．

となる．図5のように，メモリー領域が確保される．このデータ構造では，配列名と添え字(インデックス)，たとえばi[3]やj[25][49]を指定することで，その領域から値を入出力できる．

	i[3]=5;         /* 配列 i[3] に 5 を代入　*/
	c=j[25][49];    /* 配列 j[25][49] の値を変数 c へ代入 */

**図 5:** 配列のイメージ．データを入れる箱がいっぱいある．ただし箱の大きさは全て同じ．
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.8]{figure/image_array.eps}$

添え字が1つのものを一次元配列と言い，それ以上のものを多次元配列と言う．C言語では多次元配列を使う場合，

	
	int hoge_1[100], hoge_2[100][100], hoge_3[100][100][100];
	double huga[10], huge[10][10], hugo[10][10][10];

のように宣言を行う．これらも，配列名と複数の添え字で，そこにあるデータにアクセスする事ができる．3次元以上ももちろん可能である．

3.2 数列，ベクトル，行列を配列で表現

一次元の配列は数学の数列とベクトルと，二次元の配列は行列とよく似ている．実際，数値計算で数列やベクトル，行列に関わる数値演算を行うときには，配列が使われる．これらの数学の表現も，やはり順序づけられた数の集まりにすぎないので，配列と同じである．一方，スカラー量の場合には，通常の変数として扱えばよい．

数列やベクトル，行列の成分を表す場合，下添え字がつく．その添え字と同じように，配列の添え字を使う．実に簡単である．ただし，数学の場合，添え字が 1 から始まることが多いが，C言語の場合，それは 0 から始まるので注意が必要である．配列の宣言の時，添え字部分に書かれるのは要素数であるので，ベクトルや行列の要素数に 1 を加えた数で領域を確保しなくてはならない．必要数より大きめに確保するのが普通である．

2. 数列やベクトルを配列で表現

3. 行列を配列で表現

数学	C言語
	`a[1]`
	`a[2]`
	`a[3]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
	`a[i]`
$a_{i+1}$	`a[i+1]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
$a_{2i+1}$	`a[2*i+1]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$

数学	C言語
$a_{1\,1}$	`a[1][1]`
$a_{1\,2}$	`a[1][2]`
$a_{1\,3}$	`a[1][3]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
$a_{3\,3}$	`a[3][3]`
$a_{3\,4}$	`a[3][4]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
$a_{i\,j}$	`a[i][j]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
$a_{i+1\,j+1}$	`a[i+1][j+1]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$
$a_{2i+1\,3j+2}$	`a[2i+1][3j+2]`
$\quad\vdots$	$\quad\vdots$

3.3 配列を使った例

3.3.1 行列とベクトルの乗算

3.3.1.1 繰り返し文を使わない例

配列を使って行列とベクトルのかけ算を行うソースをリスト 2にしめす．この例は要素数が少ない場合であるが，多くなると，後で学習する繰り返し処理が必要となる．言うまでもないと思うが，行列とベクトルのかけ算

$\begin{equation*}\begin{aligned}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots... ... \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}\end{equation*}$

の演算は，

$\displaystyle c_i=\sum_{\ell=1}^n a_{i\ell}b_{\ell}$

(2)

である．

の場合の計算を行うリスト2の各行の内容は以下の通りである．

3行: 実数型の配列を宣言．
5-11行: 配列(行列とベクトル)の要素に値を代入．
13-14行: 行列とベクトルの乗算．

   1 #include <stdio.h>
   2 
   3 int main(void){
   4   double a[3][3],b[3],c[3];
   5   
   6   a[1][1] = 1.5;                     /* 行列にデータを代入 */
   7   a[1][2] = 2.6;
   8   a[2][1] = -6.3;
   9   a[2][2] = -0.58;
  10 
  11   b[1] = 28.5;                       /* ベクトルにデータを代入 */
  12   b[2] = -19.1;
  13   
  14   c[1] = a[1][1]*b[1]+a[1][2]*b[2];  /* 行列とベクトルの乗算 */
  15   c[2] = a[2][1]*b[1]+a[2][2]*b[2];
  16 
  17   printf("c[1] = %e\n", c[1]);       /* 結果表示 */
  18   printf("c[2] = %e\n", c[2]);
  19   
  20   return 0;
  21 }

3.3.1.2 繰り返し文を使う例

リスト2の方法だと，次元が大きくなると，プログラムを書くことができななくなる．100次元の行列を考えると，不可能であることがわかる．行列の計算のように，同じような計算を繰り返す場合，ループ文をつかう．ループ文を使うと，リスト 2は，リスト3のように書き換えることができる．15 行目～19行目のループ文の内容は，以下の通りである．

15行

forは繰り返しを行え--という命令．繰り返しの回数は，( )内に記述する．繰り返しの制御には，変数iを使ってる．

i=1で，iの初期値を1にしている．
i<=2で，iの値が2以下ならば，{ }内を実行する．
i++で，iの値を1，増やしている．i=i+1と同じで，iの値を1増加させたものを，新たなiとする．{ }の内部が実行されるたび，この i++が実行される．

この最初の繰り返し文で，ベクトル

を計算することを示している．

16行

変数jを使って，繰り返しを行っている．ここでは， $c_i=a_{i1}b_1+c_{i2}b_2$ の演算を行っている．

17行

行列の計算．iとjの2重ループの内部で，これらの変数が変化しながら計算を行う．演算子+=は，累算を示している．例えば，a+=bは a=a+bとまったく同じでである．これは，右辺のa+bを計算して，その結果を左辺の変数

に代入せよ--と言う意味である．コンピュータ言語で=は等しいという意味はない．右辺の値を計算して，その結果を左辺の変数に代入せよという意味である．非常に紛らわしいが，こうなっている．

18行

繰り返し制御変数jを使ったループの終端．

19行

繰り返し制御変数iを使ったループの終端．

   1 #include <stdio.h>
   2 
   3 int main(void){
   4   double a[3][3],b[3],c[3];          // 倍精度実数型の配列の宣言
   5   int i,j;                           // 整数型変数の宣言
   6   
   7   a[1][1] = 1.5;                     // 行列にデータを代入
   8   a[1][2] = 2.6;
   9   a[2][1] = -6.3;
  10   a[2][2] = -0.58;
  11 
  12   b[1] = 28.5;                       // ベクトルにデータを代入
  13   b[2] = -19.1;
  14   
  15   for(i=1; i<=2; i++){
  16     for(j=1; j<=2; j++){
  17       c[i] += a[i][j]*b[j];           // 行列とベクトルの乗算
  18     }
  19   }
  20 
  21   printf("c[1] = %e\n", c[1]);       // 結果表示
  22   printf("c[2] = %e\n", c[2]);
  23   
  24   return 0;
  25 }

[練習1]

リスト2を参考にして， $\boldsymbol{Mx}$ を計算するプログラムを作成せよ．

[練習2]

リスト3を参考にして， $\boldsymbol{Mx}$ を計算するプログラムを作成せよ．

$\begin{equation*}\begin{aligned}& \boldsymbol{M}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 ... ...symbol{x}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{equation*}$

3.3.2 フィボナッチ数列

次のサンプルプログラムは，フィボナッチ(Fibonatti)数列の問題である．

フィボナッチのウサギ成熟した1つがいのウサギは，1ヶ月後に1つがいのウサギを生むとする．そして，生まれたウサギは1ヶ月かけて成熟して次の月から毎月1つがいのウサギを生む．全てのウサギはこの規則に従うとし，死ぬことは無いとする．1つがいのウサギは，1年後には何つがいになるか．2，3年後はどうなっているだろうか?．計算してみると分かるが，恐ろしいことになっている．

この数列は単純で，

$\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}&F_0=1 \\ &F_1=2 \\ &F_{k}=F_{k-1}+F_{k-2} \end{aligned} \right.\end{equation*}$

となっている．この単純な数列が，自然界のいろいろな場所でお目にかかれるらしい．かなり不思議なことのようなので，興味のあるものは調べてみると良い．

フィボナッチ数列を計算するソースをリスト4にしめす．各行の内容は以下の通りである．

9-11行: for文(教科書p.142)は繰り返しに使われる．ここでは，変数 tuki の値を2～36まで，一つずつ増加させている．中括弧{ } 内の文を1 回実行させるたびに，変数tukiの値を増やしている．

   1 #include <stdio.h>
   2 
   3 int main(void){
   4   int usagi[100];         // 月ごとの兎の数
   5   int tuki;               // 月を表す．ループ制御変数
   6   
   7   usagi[0]=1;
   8   usagi[1]=2;
   9 
  10   for(tuki=2; tuki<37; tuki++){
  11     usagi[tuki] = usagi[tuki-1] + usagi[tuki-2];
  12   }
  13 
  14   printf("after 1 year  : %d\n", usagi[12]);
  15   printf("after 2 years : %d\n", usagi[24]);
  16   printf("after 3 years : %d\n", usagi[36]);
  17   
  18   return 0;
  19 }

[練習1]

消費者金融の利子を見ると恐ろしいものがある．CMなどをみると年間20%くらいである．100万円借りた場合，次の単利と複利の場合の10年後の利息を計算せよ．

単利の場合，元金の100万円のみに利子が付く．
複利の場合，元金と利息にも利子が付く．

消費者金融の利子は複利である．可愛いお姉さんが宣伝しているが，かなりの利子がつくことが分かるであろう．

[練習2]

時間が余った者のみ，チャレンジせよ．この問題は参考文献 [2]から引用した．

Bernadelliはある種類のカブトムシについて考察した．そのカブトムシは，3年間で成長し，3年目につぎの世代を生んで死亡する．3年間のうち第一年目で確率 1/2 で生き残り，さらに第2年目で 1/3 が生き残り，第3年目でそれぞれの雌が6 匹の雌を生む．これに対応する行列は，

$\displaystyle \begin{bmatrix}b_{k\,1} \\ b_{k\,2} \\ b_{k\,3} \end{bmatrix}= \b... ...nd{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{k-1\,1} \\ b_{k-1\,2} \\ b_{k-1\,3} \end{bmatrix}$

とかける．ここで， $b_{k\,1}$ は年のときの1年目のカブトムシの数である．

1年目，2年目，3年目の虫がそれぞれ3000匹いたとしたときその年以後6年間の虫の分布を求めよ．

3.4 文字列

これは，数値計算ではあまり使わないので，興味のあるものは教科書を読んでおくように．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成18年5月2日