3 いろいろなデータ

3.1 細菌の増加

シャーレ中の寒天培地で細菌の増殖を観察することを考える.その細菌は,1時間で倍に増加するとする.最初,1匹の細菌が時間とともに増加する様子を2つのグラフを描いて調べる.
[練習1]
普通の方眼紙に,横軸を時間,縦軸に細菌の数をプロットせ よ.何がわかるか?.
[練習2]
同様に,片対数グラフにプロットせよ.15時間後の細菌の数 はどうなっているだろうか?
細菌の数を見れば,指数関数的に増加することの恐ろしさが分かるだろう.身近な例とし て,サラ金のローンも指数関数になっている.短い時間は,一次関数となっていて気がつ かないが,長い時間借りると,恐ろしいことになる.年利20%の複利でお金を借り た場合の返済額をプロットしてみるとよく分かる.

3.2 ケプラーの法則

この辺の話は,数学セミナー2004年4月号の対数方眼紙で遊ぼう[1] をかなり参考にしている.

惑星の公転周期と半径の関係を表したのがケプラーの第三法則で,1619年にケプラーが発 表した.この法則はティコ・ブラーエの長年にわたっての惑星の観測結果を詳細に分析 したことから得られたものである.天空を支配しているケプラーの第三法則に地上の力学 を加味すると,ニュートンの万有引力の法則が得られる.ティコ・ブラーエ,ケプラー, ニュートンという流れで,天体の力学は進んでいったのである.

ここではケプラーの第三法則の内容は言わないものとして,観測結果(表1)から, その法則を再発見してもらう.さらに,得られた法則と遠心力の関係を用いて,ニュート ンの万有引力の法則を導いて見よ.

[練習1]
普通の方眼紙に,横軸を公転周期,縦軸を公転半径をプロッ トせよ.何が分かるか?.それとも何も分からないか?.
[練習2]
同様に,両対数グラフにプロットせよ.グラフの結果から, 何が言えるか?.

表 1: 太陽の惑星と公転半径と周期[1]
惑星 公転半径 公転周期   
  $ R$(地球=1) $ T$(地球=1)   
水星 0  39 0  24
金星 0  72 0  62
地球 1  00 1  00
火星 1  52 1  88
木星 5  20 11  9
土星 9  55 29  5
天王星 19  2 84  0
海王星 30  1 164  8
冥王星 39  5 247  8


ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年6月24日


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