3 いろいろなデータ

3.1 細菌の増加

シャーレ中の寒天培地で細菌の増殖を観察することを考える．その細菌は，1時間で倍に増加するとする．最初,1匹の細菌が時間とともに増加する様子を2つのグラフを描いて調べる．

[練習1]

普通の方眼紙に，横軸を時間，縦軸に細菌の数をプロットせ よ．何がわかるか?．

[練習2]

同様に，片対数グラフにプロットせよ．15時間後の細菌の数 はどうなっているだろうか?

細菌の数を見れば，指数関数的に増加することの恐ろしさが分かるだろう．身近な例とし て，サラ金のローンも指数関数になっている．短い時間は，一次関数となっていて気がつ かないが，長い時間借りると，恐ろしいことになる．年利20%の複利でお金を借り た場合の返済額をプロットしてみるとよく分かる．

3.2 ケプラーの法則

この辺の話は，数学セミナー2004年4月号の対数方眼紙で遊ぼう[1] をかなり参考にしている．

惑星の公転周期と半径の関係を表したのがケプラーの第三法則で，1619年にケプラーが発 表した．この法則はティコ・ブラーエの長年にわたっての惑星の観測結果を詳細に分析 したことから得られたものである．天空を支配しているケプラーの第三法則に地上の力学 を加味すると，ニュートンの万有引力の法則が得られる．ティコ・ブラーエ，ケプラー， ニュートンという流れで，天体の力学は進んでいったのである．

ここではケプラーの第三法則の内容は言わないものとして，観測結果(表1)から, その法則を再発見してもらう．さらに，得られた法則と遠心力の関係を用いて，ニュート ンの万有引力の法則を導いて見よ．

[練習1]

普通の方眼紙に，横軸を公転周期，縦軸を公転半径をプロッ トせよ．何が分かるか?．それとも何も分からないか?．

[練習2]

同様に，両対数グラフにプロットせよ．グラフの結果から， 何が言えるか?.

表 1: 太陽の惑星と公転半径と周期[1]

惑星	公転半径		公転周期
	$R$(地球=1)		$T$(地球=1)
水星	0		39	0		24
金星	0		72	0		62
地球	1		00	1		00
火星	1		52	1		88
木星	5		20	11		9
土星	9		55	29		5
天王星	19		2	84		0
海王星	30		1	164		8
冥王星	39		5	247		8

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志