contents
[Previous: 1 目的] [Up: 2 LCR回路の過渡応答] [Next: 3 実験方法]

2 原理

ここで述べている回路の応答の計算は，諸君が現在身につけいている数学のレベルを超えている． しかし，結果については学習の範囲内であり，直感的に理解できるであろう．従って，細 かい計算は気にしないで，結果を直感的に理解することに努めよ．ただ，結果のみを書い たのでは原理を示したことにならないので，退屈であるが正確な記述を示す．

2.1 CR回路

図1に示すCR回路の過渡応答を考える．ここでは，スイッチが OFFの状態ではコンデンサーに充電されていないものとする．そして，それをONにした瞬 間から電流が流れ，コンデンサーが充電される．その充電電圧が上がり，電源電圧と等し くなると電流は流れなくなり，回路は定常状態におさまる．スイッチをONにして，定常状 態におさまるまでを過渡状態と言う．
図 1: CR直列回路
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/LCR_response/CR.eps}

電流や電圧，あるいはコンデンサーの片側の電極の電荷量は，時間とともに変化する．そ の変化を表す式を考える．スイッチSをONにした場合，この回路の電圧に関係するキルヒ ホッフの法則は

$\displaystyle -E+RI+\frac{Q}{C}=0$ (1)

となる．電荷$ Q$と電流は， $ I=\frac{dq}{dt}$の関係がある．この関係式を用いると，式 (1)は

$\displaystyle \frac{dQ}{dt}+\frac{1}{CR}Q=\frac{E}{R}$ (2)

となる．ここで，電荷$ Q$のみが時間の関数で，残りは定数である．この常微分方程式の 一般解1は，

$\displaystyle Q=e^{-\frac{t}{CR}}\left[CEe^{\frac{t}{CR}}+c_1\right]$ (3)

である．ここで，$ c_1$は任意定数である．

任意常数は初期条件より決めることができる．スイッチSをONにした瞬間を $ t=0$として，そのときの回路の状態を初期条件と言う．ここでの初期条件は，

とする．この条件を先ほどの電荷を表す式に当てはめると，$ c_1=-CE$である．したがって， このCR直列回路のコンデンサーの片側に貯まる電荷は，

$\displaystyle Q=CE(1-e^{-\frac{t}{CR}})$ (4)

となる．

電荷$ Q$の変化が分かったので，回路の電圧や電流を求めることは簡単である．まずは， コンデンサーの電圧は，$ Q=CV$から簡単に求められ，

$\displaystyle V_c=E(1-e^{-\frac{t}{CR}})$ (5)

である．$ t=0$の時にはコンデンサーには充電されていないので，電圧は発生していない のである．これは，その瞬間のコンデンサーの抵抗はゼロと考える．一方，回路に流れる 電流は $ I=\frac{dQ}{dt}$より，

$\displaystyle I=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{CR}}$ (6)

となる．$ t=0$の瞬間，コンデンサーの抵抗はゼロなので，電流は抵抗によってのみ決ま るので，$ I(0)=E/R$となる．

ここで，$ \tau=CR$を時定数と言い，それはコンデンサーの電圧が定常状態の63.2%になる時 間を表している．

2.2 LR回路

先ほどと同様な手法を用いて，図2のLR回路を解析する．これ を解析する前に，定性的にその応答を述べておく．スイッチSをONにした瞬間，コイルの 抵抗は無限大になる．もし無限大にならないと，有限の電流がながれそのときの電流の 変化は無限大となる．すると無限大の抵抗となり，電流はゼロにならなくては成らない． これは矛盾である．従って，ONにした瞬間の電流はゼロで，しばらくすると電流が徐々に 増加する．電流が増加して行くが，$ I=E/R$よりも多くの電流が流れることはない．定常 状態ではコイルは無視でき，$ I=E/R$の電流が流れる．

定量的な解析は，キルヒホッフの法則から始める．この回路では，

$\displaystyle -E+L\frac{dI}{dt}+RI=0$ (7)

である．CR回路の解析と同様に，この微分方程式の一般解は，

$\displaystyle I=e^{-\frac{R}{L}t}\left[\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}+c_1\right]$ (8)

となる．ここで，初期条件($ t=0$の時，$ I=0$)を用いると，任意定数は$ c_1=-R/E$となる． したがって，回路に流れる電流は，

$\displaystyle I=\frac{E}{R}\left[1-e^{-\frac{R}{L}t}\right]$ (9)

となる．一方，抵抗の電圧は

$\displaystyle V_R$ $\displaystyle =IR$    
  $\displaystyle =E\left[1-e^{-\frac{R}{L}t}\right]$ (10)

である．

電流や電圧が定常状態の63.2%になる時間を時定数と言い，それは$ \tau=L/R$である．

図 2: LR直列回路
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/LCR_response/LR.eps}

2.3 LCR回路

2.3.1 一般解

図3のLCR回路を解析する．これを定性的に理解することはな かなか難しいが，少し考えてみる．まずは，コイルがあるためスイッチを入れた瞬間の電 流はゼロで徐々に立ち上がると想像できる．途中経過は分からないが，最後にはコンデン サーが電源電圧$ E$まで充電され，定常状態になると思われる．
図 3: LCR直列回路
\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/LCR_response/LCR.eps}

定性的に分かりにくい場合は，定量的に評価するしかない．キルヒホッフの法則から，

$\displaystyle -E+L\frac{dI}{dt}+\frac{Q}{C}+RI=0$ (11)

が導かれる．CR回路の解析と同様に$ I=dQ/dt$なので，説くべき微分方程式は

$\displaystyle \frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{LC}Q=\frac{E}{L}$ (12)

となる．付録2に示しているように，この微分方程式の解は

$\displaystyle Q=\begin{cases}% CE+ c_1\exp\left[ \left(-\frac{R}{2L}+\frac{i}{2... ...exp\left(-\frac{R}{2L}t\right), & \text{$\frac{4L}{C}-R^2=0$のとき} \end{cases}$ (13)

となる．ここで，$ c_1$と$ c_2$は未知定数で，初期条件によって決める．ここでは，それ は とする．

2.3.2 減衰振動

未知定数$ c_1$と$ c_2$をもとめて，回路の応答を考えるが，ここでは $ \frac{4L}{C}-R^2\ge 0$，すなわち $ R^2 \le 4L/C $の場合を考える．このときの回路 の応答は，式(13)の最初の解によって示される．これから，未知定数 を求めるが，式が長いので

$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =\frac{R}{2L}$ (14)
$\displaystyle \beta$ $\displaystyle = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{4L}{C}-R^2}$ (15)

とする．すると，

$\displaystyle Q=CE+c_1e^{(-\alpha+\beta i)t}+c_2e^{(-\alpha-\beta i)t}$ (16)

である．これを微分して，電流は

$\displaystyle I=c_1(-\alpha+\beta i)e^{(-\alpha+\beta i)t}+ c_2(-\alpha-\beta i)e^{(-\alpha-\beta i)t}$ (17)

となる．初期条件から，

\begin{equation*}\left\{ \begin{aligned}& CE+c_1+c_2=0\\ & c_1(-\alpha+\beta i)+c_2(-\alpha-\beta i)=0\\ \end{aligned} \right.\end{equation*}

の連立方程式が成り立つ．この連立方程式の解は，

$\displaystyle c_1$ $\displaystyle =\frac{CE}{2}\left(-1+\frac{\alpha}{\beta}i\right)$ $\displaystyle c_2$ $\displaystyle =\frac{CE}{2}\left(-1-\frac{\alpha}{\beta}i\right)$ (19)

となる．これを用いると，回路に流れる電流やコンデンサーの電荷の変化が分かる．ここ で，興味があるのは，図3に示されている電圧なので，それ を電流から求めることにする．回路に流れる電流$ I$は，この$ c_1$と$ c_2$を式 (17)に代入すればよい．オイラーの公式 2を使う と，それは，

$\displaystyle I=\frac{E}{\beta L}e^{-\alpha t}\sin(\beta t)$ (20)

となる．これから，図3に示されている電圧は，

$\displaystyle V_R$ $\displaystyle =IR$ (21)
  $\displaystyle =\frac{2\alpha}{\beta}Ee^{-\alpha t}\sin(\beta t)$ (22)

となる．これは振動項 $ \sin(\beta t)$と減衰項 $ e^{-\alpha t}$の積の形になっており， このような場合を減衰振動と言う．

2.3.3 過減衰

次に， $ \frac{4L}{C}-R^2\le 0$，すなわち $ R^2 \ge 4L/C $の場合を考える．先ほど同様， 回路の応答は，式(13)の最初の解によって示される．この式は長いので

$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =\frac{R}{2L}$ (23)
$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle = \frac{1}{2L}\sqrt{R^2-\frac{4L}{C}}$ (24)

とする．後は，減衰振動の場合と全く同じように計算を進めれば良い．しかし， $ \gamma=\beta i$に気が付けば，減衰振動の解を利用することができる．すなわち，式 (22)の$ \beta$を$ -\gamma i$に書き直せば良い． これから，図3に示されている電圧は，

$\displaystyle V_R$ $\displaystyle =\frac{2\alpha}{-\gamma i}Ee^{-\alpha t}\sin(-\gamma i t)$ (25)
  $\displaystyle =\frac{2\alpha}{\gamma}Ee^{-\alpha t}\sinh(\gamma t)$ (26)

となる3．この場合， 振動しないで減衰する．これを過減衰と言う．

2.3.4 臨界減衰

次に， $ \frac{4L}{C}-R^2=0$，すなわち$ R^2=4L/C $の場合を考える．回路の応答は，式 (13)の2番目の解によって示される．この式は長いので

$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =\frac{R}{2L}$ (27)

とする．従って，

$\displaystyle Q=CE+(c_1+c_2t)e^{-\alpha t}$ (28)

である．

減衰振動の場合と全く同じように，初期条件から未知定数を決める．まずはじめに， $ t=0$のとき$ Q=0$の条件から，$ c_1=-CE$となる．従って，

$\displaystyle Q=CE+(-CE+c_2t)e^{-\alpha t}$ (29)

となる．これから，電流は

$\displaystyle I=(c_2+\alpha CE -\alpha c_2 t)e^{-\alpha t}$ (30)

となる．$ t=0$のとき$ I=0$の条件から， $ c_2=-\alpha CE$となる．元々の条件， $ R^2=4L/C $を上手に使い，整理すると

$\displaystyle I=\frac{E}{L}te^{-\alpha t}$ (31)

が得られる．これから，

$\displaystyle V_R$ $\displaystyle =\frac{RE}{L}te^{-\alpha t}$ (32)
  $\displaystyle =2\alpha Et e^{-\alpha t}$ (33)

となる．これは臨界減衰と呼ばれる．

[Previous: 1 目的] [Up: 2 LCR回路の過渡応答] [Next: 3 実験方法]
[Top:ページの先頭に戻る]

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年7月3日

no counter