2 補習対象者向け課題

[問1]

指数関数と三角関数の関係を示すオイラーの公式を示せ．

[問2]

オイラーの公式を使って， $\sin x$ と $\cos x$ を指数関数で表す式を求めよ．

[問3]

三角関数の直交関係を示す以下の式が成り立つことを計算により示せ．ただし，

と

は自然数とする．

	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,\mathrm{d}x =\begin{cases}\pi & (n=m)\\ 0 & (n \ne m) \end{cases}$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,\mathrm{d}x=0$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,\mathrm{d}x=0$
	$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,\mathrm{d}x=0$

[問4]

関数

は

のすべての実数について定義されていて，周期 $2\pi$ をもつものとする．この

が，

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$
	$\displaystyle =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$