5 波動方程式

5.1 変数分離法

図6に示すように$x$軸と垂直な弦の振動の方程式を考える．$x$軸か らの弦の変位を$y(x,t)$とする．場所$x$と時刻$t$を決めたら弦の変位が決まるので，変 位は$y(x,t)$と表すことができる．弦の変位は$y(x,t)$は，弦の長さ$L$に比べて十分小 さい場合，次の偏微分方程式が成り立つ．

$$\if 12 \cfrac{\partial y}{\partial t} \else \cfrac{\partial^{2} y... ... x} \else \cfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\fi \qquad(c^2=T/\rho,\,c\ge 0)$$ (64)

これを波動方程式と言う．ここで，$c$は波の速度，$T$は弦の張力，$\rho$は弦の線密度である．

図 6: 弦の振動の様子．

波動方程式(64)--偏微分方程式のひとつ--の解を，

$$y(x,t)=X(x)T(t)$$ (65)

とそれぞれの変数の関数の積の形になると仮定する．これを変数分離形と言う．この仮定 した解を元の偏微分方程式に代入する．すると，

$$X(x)T^{\prime\prime}(t)=c^2X^{\prime\prime}(x)T(t)$$ (66)

が得られる．これは，

$$\frac{T^{\prime\prime}(t)}{c^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}$$ (67)

となる．この左辺は時刻$t$のみの関数で，右辺は場所$x$のみの関数である．これが等し いということは，両辺の値は定数でなくてはならない．この定数を$-\lambda$とすると，

$$\frac{T^{\prime\prime}(t)}{c^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda$$ (68)

となる．これを整理すると，

$$X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0$$ (69)

$$T^{\prime\prime}(t)+\lambda c^2T(t)=0$$ (70)

という連立常微分方程式になる．弦の振動の場合，図6に示すように 弦の両端で固定されている．固定されている部分では，弦の変位$y(x,t)$はゼロである． したがって，

$$X(0,t)=0 X(L,t)=0$$ (71)

である．この条件--境界条件--を満たすことができるのは，

$$X(x)=B_n\sin\frac{n\pi x}{L} \lambda=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$ (72)

である．時刻の項の常微分方程式(70)は，

$$T^{\prime\prime}+\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2T=0$$ (73)

となる． $(n\pi c/L)^2$は正の実数であるので，一般解は

$$T(t)=a_n\cos\frac{n\pi ct}{L}+b_n\sin\frac{n\pi ct}{L}$$ (74)

となる．空間および時刻の常微分方程式から得られた解を元の仮定した解 (65)に代入すると

$$y_n(x,t)= C_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}+ D_n\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}$$ (75)

となる．元の波動方程式は線形なので，重ね合わせの原理が成り立つ．すなわち，解は

$$y(x,t) =\sum_n y_n(x,t)$$

$$=\sum_n\left(C_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}+ D_n\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}\right)$$ (76)

と書き表すことができる．

5.2 未知定数の値を決める

5.3 境界条件

弦の振動の境界条件は，

$$X(0,t)=0 X(L,t)=0$$ (77)

である．物理的には，弦の両端を固定している--ことに対応している．すでに，この条 件は式(76)に含まれている．空間に関する波動方程式の解のうち $\sin$の項のみを選んだ過程を思い出せ．

5.4 初期条件

式(76)の$C_n$と$D_n$は，時刻$t=0$の弦の形と速度分布より決めること ができる．$t=0$のときの形と速度を

$$y(x,0)=f(x)$$ (78)

$$\if 11 \cfrac{\partial y(x,0)}{\partial t} \else \cfrac{\partial^{1} y(x,0)}{\partial t^{1}}\fi =v(x)$$ (79)

とする．この様子を図7と8に示 す．これらを初期条件という．初期の弦の形$f(x)$と速度分布$v(x)$は問題として 与えられるので既知である．偏微分方程式(64)は，初期条件以降の弦の運 動を表す．

図 7: $t=0$の波形$f(x)$

図 8: $t=0$の速度分布$v(x)$

偏微分方程式の解である式(76)が初期条件を満足するように$C_n$と $D_n$を決めれば，波動方程式が完全に解けたことになる．それらの値は，初期条件と比 較することにより決めることができる．式(76)の$t=0$の弦の形と速 度は，

$$y(x,0) =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (80)

$$\if 11 \cfrac{\partial y(x,0)}{\partial t} \else \cfrac{\partial^{1} y(x,0)}{\partial t^{1}}\fi =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (81)

となる⁶．

解の式から求めたこれらは，初期条件である式 (78)と(79)に等しい．だから，

$$f(x) =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (82)

$$v(x) =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (83)

となる．この式から，既知である$f(x)$と$v(x)$を使い$C_n$と$D_n$を決めれば，全て解 けたことになる．問題は，この式から$C_n$と$D_n$を決めることである．

ここで，$C_n$と$D_n$を求める前に，$f(x)$と$v(x)$の性質を考える．$f(x)$や$v(x)$の 定義域は$[0,\,L]$である．したがって，$f(x)$や$v(x)$はフーリエ級数，フーリエ正弦 級数，フーリエ余弦級数などで展開できる．また，$x=0$と$x=L$で弦は固定されているので，

$$f(0)=f(L)=0$$ (84)

$$v(0)=v(L)=0$$ (85)

となる．これらのことから，$f(x)$と$v(x)$はフーリエ正弦級数で展開する--ことが望 ましい．係数の収束も早いし，式(82)や (83)との対応も良い．すなわち

$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}p_n\sin\frac{n\pi x}{L} \quad p_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (86)

$$v(x)=\sum_{n=1}^{\infty}q_n\sin\frac{n\pi x}{L} \quad q_n=\frac{2}{L}\int_0^L v(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (87)

である．

これらの式を，式(82)や(83)に代入すると

$$\sum_{n=1}^{\infty}p_n\sin\frac{n\pi x}{L} =\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (88)

$$\sum_{n=1}^{\infty}q_n\sin\frac{n\pi x}{L} =\sum_n D_n\frac{n\pi c}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}$$ (89)

となる．したがって，

$$p_n=C_n q_n=D_n\frac{n\pi c}{L}$$ (90)

である．これから，

$$C_n =p_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (91)

$$D_n =\frac{L}{n\pi c}q_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L v(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$ (92)

と$C_n$と$D_n$を求めることができる．これで，波動方程式が境界条件や初期条件の元， 完全に解けたことになる．解は，次のように書くことができる．

$$y(x,t)=\sum_n\left(p_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}+ \frac{Lq_n}{n\pi c}\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}\right)$$ (93)

5.5 具体的な弦の振動

弦の初期状態を図9のようにする．弦の中央をゆっくりとつま んで，そして離す．どのように振動するであろうか?

図 9: 弦の初期状態

式(93)の$p_n$と$q_n$を決めれば，弦の振動は確定する．そのた めに初期条件を考えよう．$t=0$の時，弦の速度はどこでもゼロなので，$v(x)=0$である． したがって，式(87)より，

$$q_n=0$$ (94)

となる．残りの$p_n$は，式(86)を用いて計算する．弦の初期状態は

$$f(x)= \begin{cases}\alpha x & 0\leq x \leq \cfrac{L}{2}\\ \alpha (L-x) & \cfrac{L}{2}\leq x \leq L \end{cases}$$ (95)

と書くことができる．ここで，$\alpha$は弦の傾き，$L$は弦の長さである．これから， $p_n$は，式(86)を使うと次のように計算できる．

$$p_n =\frac{2}{L}\int_0^{L/2}\alpha x \sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x+ \frac{2}{L}\int_{L/2}^{L}\alpha (L-x) \sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{2}{L}\left[ -\alpha x \frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L} \... ...}+ \frac{2\alpha}{L}\int_0^{L/2}\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$\qquad +\frac{2}{L}\left[ -\alpha(L-x)\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\p... ...L- \frac{2\alpha}{L}\int_{L/2}^L\frac{L}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

$$=-\frac{\alpha L}{n\pi}\cos\frac{n\pi}{2} +\frac{2\alpha}{L}\left... ...-\frac{2\alpha}{L}\left[\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi x}{L}\right]_{L/2}^L$$

$$=\frac{4\alpha}{L}\left(\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}\right)$$

$$=\frac{4\alpha L}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}$$ (96)

$q_n=0$なので，弦の振動は，

$$y(x,t)=\sum_n \frac{4\alpha L}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}$$ (97)

となる． $\sin(n\pi/2)$の項は$n$が偶数の場合ゼロとなる．したがって，$n$は奇数のみ を加算すればよい．すると，

$$y(x,t) =\sum_{N=1}^\infty \frac{4\alpha L}{(2N-1)^2\pi^2}(-1)^{N-1} \sin\frac{(2N-1)\pi x}{L}\cos\frac{(2N-1)\pi ct}{L}$$

$$=\sum_{N=1}^\infty \frac{(-1)^{N-1}4\alpha L}{(2N-1)^2\pi^2} \sin\frac{(2N-1)\pi x}{L}\cos\frac{(2N-1)\pi ct}{L}$$ (98)

となる．これが，最初の図9の状態の弦の振動を表す式である． これを弦の条件

$$\alpha=\frac{1\times 10^{-3}}{0.3} L=0.6 \frac{\pi c}{L}=2\pi\times 440$$ (99)

を代入するとラの音がでる．位相が30度ごとの弦の状態を図10〜 15に示す．想像もつかないような弦の形になる．なぜ，このようなこ とが生じるか，物理的な理由を考えてみよ．

図: 時刻 0[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.18939[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.37879[ $\mathrm{msec}$]
図: 時刻 0.56818[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.75758[ $\mathrm{msec}$]	図: 時刻 0.94697[ $\mathrm{msec}$]

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著者: 山本昌志