2 パーセバルの等式

これまで学習したように，区間$[-L,L]$で定義された区分的に連続な関数$f(x)$は，

$$f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n\cos \frac{n\pi x}{L} +b_n\sin \frac{n\pi x}{L} \right]$$ (1)

$$\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L} \,\ma... ...qquad \quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L} \,\mathrm{d}x$$

のようにフーリエ級数で表すことができる．式(4)の両辺に $f(x)$を乗じて²，関数が定 義されている区間で積分を行う³．

$$\int_{-L}^{L}\left[f(x)\right]^2\,\mathrm{d}x =\int_{-L}^{L}\frac{a_0}{2}f(x)\,\mathrm{d}x +\int_{-L}^{L}\sum_{... ...eft[ a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L} \right]f(x)\,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{a_0}{2}\int_{-L}^{L}f(x)\,\mathrm{d}x +\sum_{n=1}^{\infty}... ...L}\,\mathrm{d}x +b_n\int_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x \right]$$

$$a_n b_n$$

$$=L\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(La_n^2+Lb_n^2\right)$$ (2)

以上より，

$$\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\left[f(x)\right]^2\,\mathrm{d}x =\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right)$$ (3)

が得られる．これをパーセバルの等式と言う．直交関数系のピタゴラスの定理のよ うなものである．フーリエ級数の収束の確認に有効である．

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著者: 山本昌志