3 グリーンの定理

定理 3.1 (グリーンの定理)
スカラー場$f(x,y,z)$と$g(x,y,z)$があるとする。この領域内の閉じた任意の部分を$V$ とする。そして、この$V$の境界面を$S$とする。すると、以下が成り立つ。

$$\int_V(\boldsymbol{\nabla}f\cdot \boldsymbol{\nabla}g+f\boldsymbo... ...a}^2 g)\mathrm{d}V= \int_S f\boldsymbol{\nabla} g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (3)

$$\int_V\left(f\boldsymbol{\nabla}^2g-g\boldsymbol{\nabla}^2 f\righ... ...oldsymbol{\nabla} g-g\boldsymbol{\nabla} f\right)\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (4)

これをグリーンの定理という

ベクトル解析の恒等式

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(f\boldsymbol{\nabla} g)=\boldsymbol{\nabla} f\cdot\boldsymbol{\nabla} g+f\boldsymbol{\nabla}^2g$$ (5)

の両辺を体積積分する。左辺にはガウスの定理を用いると、

$$\int_S f\boldsymbol{\nabla} g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\int... ...l{\nabla} f\cdot\boldsymbol{\nabla} g+f\boldsymbol{\nabla}^2g\right)\mathrm{d}V$$ (6)

である。これで、式(3)が証明できた。

式(5)と、これの$f$と$g$を入れ替変えたの辺々を引き 算すると、

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(f\boldsymbol{\nabla}g-g\boldsymbol{\nabla}f\right)=f\boldsymbol{\nabla}^2g-g\boldsymbol{\nabla}^2 f$$ (7)

となる。同じように体積積分をしてガウスの定理を使うと、式(4)を得る ことができる。

グリーンの定理は、

$$\boldsymbol{\nabla} f\cdot\boldsymbol{n}= \if 11 \frac{\partial f}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial n^{1}}\fi$$ (8)

として、

$$\int_V(\boldsymbol{\nabla}f\cdot \boldsymbol{\nabla}g+f\boldsymbo... ...rtial g}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \mathrm{d}S$$ (9)

$$\int_V\left(g\boldsymbol{\nabla}^2g-f\boldsymbol{\nabla}^2 g\righ... ...}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$$ (10)

と書かれる場合もある。
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著者: 山本昌志