回転を表す行列の性質を調べる。後々の都合を考えて、カーテシアン座標系を

の代わりに

で表すことにする。座標の回転により、座標は $(x_1, x_2, x_3)\rightarrow (x_1^\prime, x_2^\prime, x_3^\prime)$ と、ベクトルの成分は $(E_1, E_2, E_3)\rightarrow(E_1^\prime, E_2^\prime, E_3^\prime)$ と変換される。これらの変換は行列を用いて、

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_1^\prime x_2^\prime x_3^\prime \end{bmatri... ... & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 x_2 x_3 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}E_1^\prime \ E_2^\prime \ E_3^\prime \end{bmatri... ... & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}E_1 \ E_2 \ E_3 \end{bmatrix}$

(22)

と表すことができる。これをいちいち成分で書かずに、 $\boldsymbol{x}^\prime=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ や $\boldsymbol{E}^\prime=\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}$ と書く。 $\boldsymbol{A}$ が回転を表す行列である。この行列の性質を少し考えてみよう。

回転を表す行列の成分 $a_{ij}$ は、軸と軸の方向余弦を表している。これは、2次元の回転を考えれば簡単に分かる。2次元の回転は、

$\displaystyle \begin{bmatrix}x^\prime y^\prime \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x y \end{bmatrix}$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}\cos\theta & \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\righ... ...2}+\theta\right) & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x y \end{bmatrix}$	(23)

となる。これと、図6から、回転を表す行列の成分は軸の方向余弦であることが分かる。方向余弦はその方向の成分を表すのであるから当然であろう。

**図 6:** 座標軸の回転
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/rot_two_dim.eps}$

これらのことから、 $a_{ij}$ はプライムがつく軸とプライムが付かない軸の方向余弦を表す。従って、

$\displaystyle x_i^\prime$	$\displaystyle = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x_j$	(24)
$\displaystyle x_j$	$\displaystyle = \sum_{i=1}^3 a_{ij} x_i^\prime$	(25)

となる。これらの式のうち、前者は式(22)を表す。後者の式は、

と

を入れ替えると、

$\displaystyle x_i$

$\displaystyle = \sum_{j=1}^3 a_{ji} x_j^\prime$

(26)

となる。回転の行列が転置行列になっていることが分かるであろう。すなわち、

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_1 x_2 x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_... ...nd{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1^\prime x_2^\prime x_3^\prime \end{bmatrix}$