5 はさみうち法

5.1 計算方法

二分法は収束が遅いので、それを少し改良した方法である。とはいっても、初期値が悪い と二分法よりも収束が遅いこともある。初期値が解に近ければ、収束は早くなる。二分法 では$c$を$[a,\,b]$の中点とした。その代わりに、2点 $(a,\,f(a))$と $(b,\,f(b))$を結 ぶ直線がx軸と交わる点を$c$とするのがはさみうち法である。x軸と交点$c$は、

$$c=\frac{af(a)-bf(b))}{f(b)-f(a)}$$ (12)

となる。ゼロ点$\alpha$は常に区間$[a,\,b]$に存在する。次々に更新される$c$はゼロ点 $\alpha$に収束するが、区間の幅$\vert b-a\vert$ はゼロに収束しない。ある与えられた値 $\varepsilon$ に対して、 $\vert f(c)\vert<\varepsilon$ となれば反復を停止させる。実際に式 (2)を計算した結果を図6に示す。 交点が解に近づくことが理解できるはずである。

フロチャートは、各自考えよ。

図 6: $f(x)=x^3-3x^2+9x-8$の実数解をはさみうち法で計算で、その解 の収束の様子を示している。初期値 $a=-0.5,\,b=5.5$から出発している。x 軸との交点 $x_0,\,x_1,\,x_2,\,x_3\cdots$が解析解 $x=1.1659\cdots$に収束していく 様子が分かる。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志