1 フーリエ級数

連立方程式の最後の問題は，フーリエ級数に関係した問題です．そこで，その問題につい て簡単に解説しておく．

1.1 フーリエ級数とは

フーリエ級数は，フーリエ(1768-1830 フランス)が熱伝導の方程式を研究しているときに 発見した級数です．今は，もっぱら波(振動も波と考える)の問題に適用されています．

フーリエ級数とは，つぎのように区間[$-\pi,\pi$ ]で定義された任意の関数を$\sin$ と $\cos$ で展開したものです．

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$$ (1)

この式が正確に成り立つために$f(x)$ に課せられる条件は，$f(x)$ はたかだか有限個の有 限な不連続点しか持たず，また有っても有限個の極値，極大値または極小値を持つことで す．科学技術で用いられる普通の関数はこの条件を満足します．有限個の有限な不連続点 も許されのです．これは，非常に驚くべきことです．今までほぼ無視してきた不連続点が 取り扱えるというのは面白いことです．

このように関数を展開することはいろいろな場面で使われます．皆さんは，フーリエ級数 以外にも冪乗に展開するテイラー展開というものをすでに学習しているはずです．場面に 応じて都合の良い展開を使えばよいのです．

本当に任意の関数が，式(1)に展開できることの証明は数学 の教科書に譲ることにして，その展開の係数，フーリエ係数$a_n$ と$b_n$ を求める方法 を示します．これこそが，フーリエ級数やフーリエ変換，あるいはコンピューターによる 離散フーリエ変換(DFT)または高速フーリエ変換(FFT)の実際の計算です．

この展開係数の理論的な式は，三角関数の次の性質を使いことにより求めることができま す．ただし，$m$ と$n$ は1以上の整数とします．

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx =\begin{cases}0 & m \neq n \pi & m=n \end{cases}$$ (2)

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nx =\begin{cases}0 & m \neq n \pi & m=n \end{cases}$$ (3)

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \sin nx =0$$ (4)

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx =0$$ (5)

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx =0$$ (6)

まずは，$a_0$ のを計算します．そのために，式(1) の両辺を区間[$-\pi,\pi$ ]を$x$ で積分すればよく，

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx &= \int_{-\pi}^{\pi}\fra... ...{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx &= \pi a_0 \end{aligned}$$

となります．これから，

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$ (8)

と計算できます． $\frac{a_0}{2}$ は，関数$f(x)$ の区間[$-\pi,\pi$ ]の平均値 になっていることに気が付いてほしい．これを技術者は直流成分と言います．

つぎに，$a_n$ を求めよう．式(1)の両辺に$\cos mx$ を書けて，区間[$-\pi,\pi$ ]を$x$ で積分します．すると，

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx dx &= \int_{-\pi}^{... ...b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx &= a_m \pi \end{aligned}$$

となります．これから，直ちに$a_n$ は計算できて，

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx (n=1,2,3,\cdots)$$ (10)

となります．ここで，この式と式(8)を比べます．すると，

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx (n=0,1,2,3,\cdots)$$ (11)

となることが分かります．式がひとつ節約できたことになります．同様に， $b_n$ は，両辺に$\sin mx$ をかけて，積分を行います．すると，

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx &= \int_{-\pi}^{... ...b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin mx dx &= b_m \pi \end{aligned}$$

となります．したがって，$b_n$ は，

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx (n=1,2,3,\cdots)$$ (13)

と求めることができます．この式と式(11)からフーリエ係数 が計算でき，式(1)の展開が可能となるわけです．

これまでは，関数の区間[$-\pi,\pi$ ]としてきましたが，式 (1)はその区間の外側でも計算できます．外側の 値が気になるところですが，これは三角関数の性質により直ちにわかります． フーリエ級数を形成する三角関数は，$2\pi$ の周期を持ちますので，フーリエ 級数も同じ周期を持つことになります．したがって，区間[$-\pi,\pi$ ]の形が その外側で周期的に現れることになります．波と一緒です．

1.2 対称性

フーリエ級数は，あらゆる関数は三角関数からできていると言っています．その三角関数 は，原点をを境に対称な$\cos$ と反対称な$\sin$ に分けることができます．このことから， どんな形の関数でも対称関数と反対称な関数に分解できることを意味しています．

もし，元の関数が原点を境に対象な形をしているならば，そのフーリエ級数は$\cos(nx)$ の和のみで書かれることになります²．一方，原点を中心に反対照な関数であれば，$\sin(nx)$ の和のみで表現できます． これは，$a_n$ や$b_n$ を求める式からも理解できます．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志