1.2 原理

1.2.1 共振回路

図1.1のようなLCR直列共振回路に交流電圧Eを加えたとき、回路に流れる電流

は

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\frac{E}{Z}$
	$\displaystyle =\cfrac{E}{R+i\left(\omega L-\cfrac{1}{\omega C}\right)}$	(1.1)

となり、その大きさは

$\displaystyle \vert I\vert=\cfrac{E}{\sqrt{R^2+\left(\omega L -\cfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$

(1.2)

とである。

いま、電流が最大に流れるように、交流電源の角振動数 $\omega$ を調整して、 $\omega_0 L-1/(\omega_0 C)=0$ とする。すなわち、

$\displaystyle \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

(1.3)

とする。 $\omega=2\pi f$ なので、周波数に直すと、 $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})$ である。このようにすると、回路に流れる電流は、

$\displaystyle I_0=\frac{E}{R}$

(1.4)

となる。最大の電流が流れるこの状態を共振と言う。丁度、電源の周波数と回路の固有振動数が一致している状態となっている。図1.1のような回路を直列では直列共振という。そして、電源の電圧を一定にしてその周波数を変化させると、図1.2のように回路に流れる電流が変わる。このような図を共振曲線という。

図から明らかなように、の小さい回路では共振時の電流は非常に大きくなるが、共振周波数からずれると、それは急激に減少する。この共振曲線の形状の鋭さを測る物差しとしてを定義し、これを共振の鋭さ(sharpness of resonance)と言う。

$\vert I\vert$ がの $1/\sqrt{2}$ になる周波数を $f_1=\omega_1/2\pi$ 、 $f_2=\omega_2/2\pi$ として、

$\displaystyle Q$	$\displaystyle =\frac{f_0}{f_2-f_1}$
	$\displaystyle =\frac{\omega_0}{\omega_2-\omega_1} \qquad\qquad(\omega_1\leq\omega_0\leq\omega_2)$	(1.5)

と定義する。

**図 1.1:** 直列共振回路
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/resonance/series_resonant.eps}$

**図 1.2:** 共振曲線
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/resonance/resonance_curve.eps}$

ここでは、周波数を一定にして、コンデンサーの容量を変化させた場合の電流を測定して、 Q値を求める。図1.1の回路では、

$\displaystyle \vert I\vert^2=\cfrac{E^2}{R^2+\left(\omega L -\cfrac{1}{\omega C}\right)^2}$

(1.6)

となる。ところで、共振時にはこの式の分母の括弧の中がゼロとなるので、

$\displaystyle I_0^2=\frac{E^2}{R^2}$

(1.7)

である。これより、

$\displaystyle \sqrt{\frac{I_0^2-\vert I\vert^2}{\vert I\vert^2}}$	$\displaystyle =\cfrac{\omega L-\cfrac{1}{\omega C}}{R}$
	$\displaystyle =\frac{1}{\omega R}\frac{C-C_0}{CC_0}$
	$\displaystyle =\frac{1}{\omega R C_0}\frac{\Delta C}{C}$	(1.8)