3 基数の変換

3.1 2進数と10進数の変換

3.1.1 2進数 $\rightarrow$ 10進数

2進数から10進数への変換は簡単である．式(16)を理解して いれば，分かる．2進数であろうが10進数であろうが，表記法は同じで，約束に従って変 形すれば良い．次のようにする．

$$(10011)_2 =(1\times 10^{100}+0\times 10^{11}+0\times 10^{10}+1\times 10^1 +1\times 10^0)_2$$

$$=(1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)_{10}$$

$$=(16+0+0+2+1)_{10}$$

$$=(19)_{10}$$ (2)

この手中を順を追って説明すると，以下のようになる．

1. まずは，1行目右辺のように位取り記数法で表現する．
2. そうして，表1に従い，式を変換したい基数に直す．
3. 後は地道に計算するだけ．

通常は，1行目の右辺は省き，2行目から計算する．

• 2進数の各桁の10進数での値(重み)を覚えておくと便利である．
  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096

3.1.2 10進数 $\rightarrow$ 2進数

今度は逆で10進数から2進数への変換である．原理的に，先ほどと同じように変換ができ るが，計算してみるとそれは難しい³．これ は，我々は10進数の演算になれていることが原因となっている．自然には，10進数であろ うと2進数であろうと優位性は無いからである．

10進数から2進数への計算手法は簡単であるが，その内容を理解することが大事である． 計算手法を忘れても，内容が理解できていれば，その方法はいつでも自分で作ることがで きる．また，応用範囲も広がる．では，簡単な例で説明する．10進数の$(19)_{10}$を2進 数に変換する方法を示す．具体的には，19を

$$(19)_{10}=(\cdots+a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+ a_0\times 2^0)_{10}$$ (3)

と表現したい．これは式(2)の2行目の式で，ここで求められ た係数を $(\cdots a_4 a_3 a_2 a_1 a_0)_2$と並べれば位取り記数法になる．それぞれ， $a_n$を求めなくてはならない．そこで，次のように19を2で割った商と余りを考える．これは，

$$(9\times2+1)_{10} =(\cdots+a_4\times 2^3+a_3\times 2^2+a_2\times 2^1+a_1\times 2^0)_{10} \times 2+a_0$$ (4)

と書ける．これをよくにらむと，$a_0=1$ということが分かる．すなわち，$a_0$は19を2で 割ったあまりである．残りの部分は，

$$(9)_{10} =(\cdots+a_4\times 2^3+a_3\times 2^2+a_2\times 2^1+a_1\times 2^0)_{10}$$ (5)

となることも分かるでろう．商について同じことをすると，

$$(4\times 2+1)_{10} =(\cdots+a_5\times 2^3+a_4\times 2^2+a_3\times 2^1+a_2\times 2^0)_{10} \times 2+a_1$$ (6)

となる．したがって，$a_1=1$である．しつこいが，さらに商について同様に進めると，

$$(2\times 2+0)_{10} =(\cdots+a_6\times 2^3+a_5\times 2^2+a_4\times 2^1+a_3\times 2^0)_{10} \times 2+a_2 \Rightarrow a_2=0$$ (7)

$$(1\times 2+0)_{10} =(\cdots+a_7\times 2^3+a_6\times 2^2+a_5\times 2^1+a_4\times 2^0)_{10} \times 2+a_3 \Rightarrow a_3=0$$ (8)

$$(0\times 2+1)_{10} =(\cdots+a_8\times 2^3+a_7\times 2^2+a_6\times 2^1+a_5\times 2^0)_{10} \times 2+a_4 \Rightarrow a_4=1$$ (9)

となる．最後の式から， $a_n=0\quad(5\leq n)$ が分かる．以上をまとめると

$$(19)_{10} =(a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+ a_0\times 2^0)_{10}$$

$$=(1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)_{10}$$ (10)

$$=(10011)_2$$

となる．要するに，2で割ったあまりを書いていけば良いのである．計算方法は分かった． だがこの方法は実際的ではない．よく使われるのは，図2の ように2で割った余りを並べる．これは， $(19)_{10}=(10011)_2,\quad(2003)_{10}=(11111010011)_2$ を示している．

図 2: 10進数から2進数への変換方法．

内容を十分理解し，変換の練習をしなくてはならない．

3.2 16進数

2進数の変換が理解できたら，16進数の変換はまったくもって簡単である．

3.2.1 16進数 $\rightarrow$ 10進数

2進数と同じで次のようにする．

$$(376)_{16} =(3\times 10^2+7\times 10^1+6\times 10^0)_{16}$$

$$=(3\times 16^2+7\times 16^1+6\times 16^0)_{10}$$

$$=(3\times 256+7\times 16+6\times 1)_{10}$$

$$=(886)_{10}$$ (11)

3.2.2 10進数 $\rightarrow$ 16進数

これも2進数と同様に考える．16で割ったあまりを並べれば良い．図 3のようにして， $(25391)_{10}=(632F)_{16}$ を計算する．

図 3: 10進数から16進数への変換方法

手計算ではこの方法を用いるが，実際のエンジニアーは電卓の変換機能を使う．

コーヒーブレイク 昔から言われるジョークをひとつ．プログラマーは，クリスマス(12月25日)と ハロウィーン(10月31日)が区別できない．なぜか?．ヒント

• 10進数(decimal number)のことをDECと書く．DEC 23 と書けば，10進数 の23をあらわしている．
• 8進数(octal number)はのことをOCTとかく．OCT 23 と書けば，8進数 の23を表している．

3.3 2進数と16進数の変換

2進数と16進数の相互の変換は簡単である．$2^4=16$なので，2進数の4桁は16進数の一桁 に対応している．図4のように，1桁の16進数を4桁の2進数に変換す れば良い．反対に4桁の2進数は，1桁の16進数に変換できる．

図 4: 2進数と16進数の相互変換方法

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著者: 山本昌志